【点睛】本题考查旋转变换，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．，属于中考常考题型．

8．（2019?石景山区一模）如图，在等边△ABC中，D为边AC的延长线上一点（CD＜AC），平移线段BC，使点C移动到点D，得到线段ED，M为ED的中点，过点M作ED的垂线，交BC于点F，交AC于点G．

（1）依题意补全图形； （2）求证：AG＝CD；

（3）连接DF并延长交AB于点H，用等式表示线段AH与CG的数量关系，并证明．

【答案】解：（1）补全的图形如图1所示． （2）证明：∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC＝CA．∠ABC＝∠BCA＝∠CAB＝60°． 由平移可知ED∥BC，ED＝BC． ∴∠ADE＝∠ACB＝60°． ∵∠GMD＝90°，

如图1，∴DG＝2DM＝DE． ∵DE＝BC＝AC， ∴DG＝AC． ∴AG＝CD．

（3）线段AH与CG的数量关系：AH＝CG． 证明：如图2，连接BE，EF． ∵ED＝BC，ED∥BC， ∴四边形BEDC是平行四边形． ∴BE＝CD，∠CBE＝∠ADE＝∠ABC．

∵GM垂直平分ED， ∴EF＝DF． ∴∠DEF＝∠EDF． ∵ED∥BC，

∴∠BFE＝∠DEF，∠BFH＝∠EDF． ∴∠BFE＝∠BFH． ∵BF＝BF，

∴△BEF≌△BHF（ASA）． ∴BE＝BH＝CD＝AG． ∵AB＝AC， ∴AH＝CG．

【点睛】本题考查平移变换、等边三角形的性质、三角形全等的性质和判定、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键灵活应用所学知识解决问题，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．

9．（2019?西城区一模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC．将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，E是边BC上的一动点，连接DE交AC于点F，连接BF．

（1）求证：FB＝FD；

（2）点H在边BC上，且BH＝CE，连接AH交BF于点N． ①判断AH与BF的位置关系，并证明你的结论；

②连接CN．若AB＝2，请直接写出线段CN长度的最小值．

【答案】（1）证明：如图1中，

∵BA＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠BAC＝∠ACB＝45°，

∵线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AD， ∴∠BAD＝90°，BA＝AD， ∴∠FAD＝∠FAB＝45°， ∵AF＝AF，

∴△FAD≌△FAB（SAS）， ∴BF＝DF．

（2）①解：结论：AH⊥BF． 理由：如图2中，连接CD．

∵∠ABC+∠BAD＝180°， ∴AD∥BC， ∵AD＝AB＝BC，

∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∵AB＝BC，

∴四边形ABCD是正方形，

∵BA＝CD，∠ABH＝∠DCE，BH＝CE， ∴△ABH≌△DCE（SAS）， ∴∠BAH＝∠CDE，

∵∠FCD＝∠FCB＝45°，CF＝CF，CD＝CB， ∴△CFD≌△CFB（SAS）， ∴∠CDF＝∠CBF， ∴∠BAH＝∠CBF， ∵∠CBF+∠ABF＝90°， ∴∠BAH+∠ABF＝90°， ∴∠ANB＝90°， ∴AH⊥BF．

②如图3中，取AB的中点O，连接ON，OC．