∵∠EBC＝∠ECB ∴BE＝CE，

∵∠AED＝60°，AH⊥BD ∴AE＝2EH

∵AB＝AD，AH⊥BD

∴BD＝2BH＝2（BE+EH）＝2BE+AE＝2EC+AE （2）补全图形如图，

2CE﹣AE＝BD 理由如下：

如图2，以A为顶点，AE为一边作∠EAF＝60°，AF交DB延长线于点F． ∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AE平分∠BAC ∴∠BAE＝∠CAE＝45°，∠ABC＝∠ACB＝45°． ∵将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到AD， ∴AC＝AD，∠DAC＝60°

∴∠DAE＝∠DAC﹣∠CAE＝15°，AB＝AD ∴∠ABD＝∠ADB，∠BAD＝30° ∴∠ABD＝∠ADB＝75° ∴∠AED＝∠ADB﹣∠DAE＝60° ∵∠EAF＝60°

又∵∠EAF＝60°， ∴∠F＝60°

∴△AEF是等边三角形． ∴AE＝AF＝EF．

∵AC＝AD，∠CAE＝∠DAF＝45°，AE＝AF， ∴△CAE≌△DAF（SAS）． ∴CE＝DF．

∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAE＝45°，AE＝AE， ∴△BAE≌△CAE（SAS）． ∴BE＝CE． ∴BE＝CE．

∵DF+BE﹣EF＝BD， ∴2CE﹣AE＝BD

【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．

6．（2019?石景山区二模）如图在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为外角∠BCD平分线上一动点（不与点C重合），点E关于直线BC的对称点为F，连接BE，连接AF并延长交直线BE于点G． （1）求证：AF＝BE；

（2）用等式表示线段FG，EG与CE的数量关系，并证明．

【答案】解：（1）如图，连接CF． ∵，∠ACB＝90°，CE平分∠BCD， ∴∠BCE＝45°，

∵点E、F关于直线BC对称， ∴CE＝CF，

∠FCB＝∠BCE＝45°， ∴∠FCA＝45°， 在△FCA与△ECB中，

∴△FCA≌△ECB（SAS）， ∴AF＝BE；

（2）FG，EG与CE的数量关系：GE+GF＝2CE， 证明：∵△FCA≌△ECB， ∴∠AFC＝∠BEC， ∵∠AFC+∠CFG＝180°， ∴∠CFG+∠CEG＝180°， ∴∠ECF+∠EGF＝180°， ∵∠ECF＝45°+45°＝90°， ∴∠EGF＝90°， 连接EF，

∴GE+GF＝EF， ∵CE＝CF，

∴CE+CF＝2CE＝EF， ∴GE+GF＝2CE．

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

【点睛】本题考查了轴对称的性质与等腰直角三角形的性质，熟练运用勾股定理、三角形全等的判定与性质是解题的关键．

7．（2019?朝阳区一模）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，将线段BC绕点B逆时针旋转α°（0＜α＜180），得到线段BD，且AD∥BC． （1）依题意补全图形；

（2）求满足条件的α的值； （3）若AB＝2，求AD的长．

【答案】解：（1）满足条件的点D和D′如图所示．

（2）作AF⊥BC于F，DE⊥BC于E．则四边形AFED是矩形． ∴AF＝DE，∠DEB＝90°，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AF⊥BC， ∴BF＝CF，

∴AFBC，

∵BC＝BD，AF＝DE，

∴DEBD，

∴∠DBE＝30°，

∴∠D′BC＝120°+30°＝150°， ∴满足条件的α的值为30°或150°．

（3）由题意AB＝AC＝2， ∴BC＝2

，

， ， ，AD′＝2

（

）

．

∴AF＝BF＝DE∴BE∴AD

DE