∵△ABC是等边三角形，BF＝FC ∴AF⊥BC ∴∠AFC＝90° ∴∠AFC＝∠AEC＝90°

∴点A，点F，点C，点E四点在以AC为直径的圆上， ∴EF最大为直径， 即最大值为1

【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．

4．（2019?平谷区二模）在等边三角形ABC外侧作射线AP，∠BAP＝α，点B关于射线AP的对称点为点D，连接CD交AP于点E． （1）依据题意补全图形；

（2）当α＝20°时，∠ADC＝ 40 °；∠AEC＝ 60 °； （3）连接BE，求证：∠AEC＝∠BEC；

（4）当0°＜α＜60°时，用等式表示线段AE，CD，DE之间的数量关系，并证明．

【答案】解：（1）如图，补全图形：

（2）连接AD，

∵三角形ABC为等边三角形，

∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°， 由对称可知，AD＝AB， ∴AD＝AC， ∵∠BAP＝α＝20°， ∴∠DAB＝40°，

∴∠DAC＝40°+60°＝100°，

∴∠ADC＝∠ACD，

∠AEC＝∠ADC+∠DAE＝40°+20°＝60°， 故答案为40，60；

（3）由对称可知，∠BAE＝∠DAE＝α， ∵AD＝AB＝AC，

∴∠ADC∠AEC＝60°，

，

∵∠ACB＝60°，∠ACD＝∠ADC＝60°﹣α， ∴∠BCE＝α，

∵∠ABC＝60°，∠ABE＝∠ADC＝60°﹣α，

∴∠BEC＝60°， ∴∠AEC＝∠BEC；

（4）当0°＜α＜60°时，CD＝2DE+AE， 证明：在CD上截取BG＝BE，

∵∠BEC＝60°， ∴△BGE是等边三角形， ∴∠BGC＝∠AED＝120°， ∵∠BCE＝∠DAE＝α， ∴△BCG≌△DAE（AAS）， ∴AE＝CG， ∵EG＝BE＝DE， ∴CD＝2DE+CG， 即CD＝2DE+AE．

【点睛】本题考查了轴对称，熟练运用等边三角形的性质是解题的关键． 5．（2019?顺义区二模）已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．

（1）如图1，将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到AD，连结CD、BD，∠BAC的平分线交BD于点E，连结CE．

①求证：∠AED＝∠CED；

②用等式表示线段AE、CE、BD之间的数量关系（直接写出结果）；

（2）在图2中，若将线段AC绕点A顺时针旋转60°得到AD，连结CD、BD，∠BAC的平分线交BD的延长线于点E，连结CE．请补全图形，并用等式表示线段AE、CE、BD之间的数量关系，并证明．

【答案】证明：（1）

①∵将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到AD， ∴AC＝AD，∠DAC＝60°

∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝150°，且AB＝AC＝AD ∴∠3＝∠5＝15°

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AE平分∠BAC ∴∠1＝∠2＝45°，∠ABC＝∠ACB＝45° 又∵AE＝AE，

∴△ABE≌△ACE（SAS） ∴∠3＝∠4＝15° ∴∠6＝∠7＝30° ∴∠DEC＝∠6+∠7＝60° ∵∠AED＝∠3+∠1＝60° ∴∠AED＝∠CED ②BD＝2CE+AE 理由如下：

过点A作AH⊥BD于点H，