专题17 图形的变化之解答题（14道题）

参考答案与试题解析

一．解答题（共14小题）

1．（2019?门头沟区二模）如图，在等边三角形ABC中，点D为BC边上的一点，点D关于直线AB的对称点为点E，连接AD、DE，在AD上取点F，使得∠EFD＝60°，射线EF与AC交于点G． （1）设∠BAD＝α，求∠AGE的度数（用含α的代数式表示）； （2）用等式表示线段CG与BD之间的数量关系，并证明．

【答案】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∵∠BAD＝α， ∴∠FAG＝60°﹣α， ∵∠AFG＝∠EFD＝60°，

∴∠AGE＝180°﹣60°﹣（60°﹣α）＝60°+α； （2）CG＝2BD，理由是：

如图，连接BE，过B作BP∥EG，交AC于P，则∠BPC＝∠EGP，

∵点D关于直线AB的对称点为点E， ∴∠ABE＝∠ABD＝60°， ∵∠C＝60°， ∴∠EBD+∠C＝180°，

∴EB∥GP，

∴四边形EBPG是平行四边形， ∴BE＝PG，

∵∠DFG+∠C＝120°+60°＝180°， ∴∠FGC+∠FDC＝180°， ∴∠ADB＝∠BGP＝∠BPC， ∵AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°， ∴△ABD≌△BCP（AAS）， ∴BD＝PC＝BE＝PG， ∴CG＝2BD．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，对称的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．

2．（2019?东城区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，AE∥BD，且AE＝BD． （1）求证：四边形AEBD是矩形；

（2）连接CE交AB于点F，若∠ABE＝30°，AE＝2，求EF的长．

【答案】（1）证明：∵AE∥BD，AE＝BD， ∴四边形AEBD是平行四边形， ∵AB＝AC，D为BC的中点， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴四边形AEBD是矩形．

（2）解：∵四边形AEBD是矩形， ∴∠AEB＝90°， ∵∠ABE＝30°，AE＝2，

∴BE＝2∴EC＝2

，BC＝4， ，

∵AE∥BC， ∴△AEF∽△BCF，

∴，

∴EFEC．

【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

3．（2019?东城区二模）如图，△ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点（点P不与A，C重合），连接BP，过点A作直线BP的垂线段，垂足为点D，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接DE，CE．

（1）求证：BD＝CE；

（2）延长ED交BC于点F，求证：F为BC的中点；

（3）在（2）的条件下，若△ABC的边长为1，直接写出EF的最大值．

【答案】证明：（1）∵将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE， ∴AD＝AE，∠DAE＝60° ∴△ADE是等边三角形

∵△ABC为等边三角形

∴AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝60° ∴∠DAB＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE ∴△ADB≌△AEC（SAS） ∴BD＝CE

（2）如图，过点C作CG∥BP，交EF的延长线于点G，

∵∠ADB＝90°，∠ADE＝60° ∴∠BDG＝30° ∵CG∥BP

∴∠G＝∠BDG＝30°， ∵△ADB≌△AEC

∴BD＝CE，∠ADB＝∠AEC＝90° ∴∠GEC＝∠AEC﹣∠AED＝30° ∴∠G＝∠GEC＝30° ∴GC＝CE，

∴CG＝BD，且∠BDG＝∠G，∠BFD＝∠GFC ∴△BFD≌△CFG（AAS） ∴BF＝FC ∴点F是BC中点 （3）如图，连接AF，