数学模型数学规划

1. 某厂生产甲乙两种口味的饮料,每百箱甲饮料需用原料6千克,工人10名,可获利10万元;每百箱乙饮料需用原料5千克,工人20名,可获利9万元.今工厂共有原料60千克,工人150名,又由于其他条件所限甲饮料产量不超过8百箱.问如何安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大.进一步讨论:

1)若投资0.8万元可增加原料1千克,问应否作这项投资. 2)若每百箱甲饮料获利可增加1万元,问应否改变生产计划.

解：

基本模型

决策变量：设生产x1百箱甲饮料，x2百箱乙饮料 目标函数：设获利为z=10x+9y万元

约束条件：原料和工人的数量均有限，6x1+5x2≤60，10x1+20x2≤150，又有其他条件所限

x1≤8

非负约束：x1，x2均不能为负值，即x1≥0，x2≥0 综上可得：Max z=10x1+9x2 s.t. 6x1+5x2≤60 10x1+20x2≤150 0≤x1≤8 0≤x2 编写Matlab程序如下： C=[-10 -9];

A=[6 5;10 20;1 0]; B=[60 150 8]; Aeq=[]; beq=[]; vlb=[0;0]; vub=[];

[x,fval]=linprog(C,A,B,Aeq,beq,vlb,vub) 运行结果如下： x =

6.4286 4.2857 fval = -102.8571

结果分析：若取整数箱饮料，则应该生产6百箱甲饮料，4百箱乙饮料，可最大获利96

万元。

进一步讨论：

1）若投资0.8万元可增加原料1千克，设增加原料x3千克，则 目标函数变为：z=10x1+9x2-0.8x3

约束条件变为：

s.t 6x1+5x2-x3≤60 10x1+20x2≤150 0≤x1≤8 0≤x2 0≤x3

Matlab程序如下：

C=[-10 -9 0.8];

A=[6 5 -1;10 20 0;1 0 0]; B=[60 150 8]; Aeq=[]; beq=[];

vlb=[0;0;0]; vub=[];

[x,fval]=linprog(C,A,B,Aeq,beq,vlb,vub) 运行结果如下： x =

8.0000 3.5000 5.5000 fval = -107.1000

结果分析：因为107.1000 >102.8571，所以投资增加原料可以使得最大获利增加，商家应

该考虑进行这项投资。

2）若每百箱甲饮料获利可增加1万元,则 目标函数变为:z=11x1+9x2

考虑解除甲饮料产量不超过8百箱的约束，则约束条件变为：

s.t 6x1+5x2≤60

10x1+20x2≤150 0≤x1 0≤x2

Matlab程序如下：

C=[-11 -9];

A=[6 5;10 20;1 0]; B=[60 150 8]; Aeq=[]; beq=[]; vlb=[0;0]; vub=[];

[x,fval]=linprog(C,A,B,Aeq,beq,vlb,vub) 运行结果如下： x =

8.0000

2.4000 fval = -109.6000

结果分析：因为109.6000 >107.1000 >102.8571，所以甲饮料的生产可以使得获利增加，

商家应该考虑改变生产计划。

2.某厂向用户提供发动机，合同规定，第一、二、三季度末分别交货40台、60台、80台．每季度的生产费用为f(x)=ax+bx（元），其中x是该季生产的台数．若交货后有剩余，可用于下季度交货，但需支付存储费，每台每季度c元．已知工厂每季度最大生产能力为100台，第一季度开始时无存货，设a=50、b=0.2、c=4，问工厂应如何安排生产计划，才能既满足合同又使总费用最低．讨论a、b、c变化对计划的影响，并作出合理的解释．

2

解：

基本模型

决策变量：设第1，2，3季度分别生产x1，x2，x3台发动机，第1，2季度末分别有存货

40-x1，x1+x2-100台，第3季度末无存货

目标函数：设总费用为z=a(x1+x2+x3)+b(x1^2+ x2^2 +x3^2)+c[(x1-40)+(x1+x2-100)] 约束条件：生产的发动机应该在第3季度末全部卖出，则有x1+x2+x3=180；同时要保证第1，

2季度能供货且有能力生产，要求x1≥40，x1+x2≥100,100≥x1,100≥x2,100≥x3

非负约束：x1,x2,x3≥0

综上可得：Max z= a(x1+x2+x3)+b(x1^2+ x2^2 +x3^2)+c[(x1-40)+(x1+x2-100)] s.t．x1+x2+x3=180 x1+x2≥100 x1≥40

0≤x1,x2,x3≤100

Matlab程序如下：

a=50; b=0.2; c=4;

H=diag(2*b*ones(1,3)); C=[a+2*c,a+c,a]; A=[-1,0,0;-1,-1,0]; B=[-40,-100]; Aeq=[1 1 1]; beq=[180]; vlb=[0 0 0];

vub=[100 100 100];

[x,z]=quadprog(H,C,A,B,Aeq,beq,vlb,vub) 运行结果如下： x =

50.0000

60.0000 70.0000 z =

11840

得到最优整数解，工厂应安排第1，2，3季度分别生产50，60，70台发动机以既满足合同又使总费用最低。

进一步讨论参数a，b，c对生产计划的影响：

1）、固定b，c不变，a变化（分别取a＝20，60），仍运行上述程序，结果为： a 20 60 x1 50 50 x2 60 60 x3 70 70 z 5880 13080

2）、固定a，c不变，b变化（分别取b＝0.15,0.5），结果为： b 0.15 0.5 c 2 6

x1 46.7 56 x1 55 45 x2 60 60 x2 60 60 x3 73.3 64 x3 65 75 z 10727 14544 z 11230 11310 3）、固定a，b不变，c变化（分别取c＝2，6），结果为：

结果分析： 由于生产总量是恒定的，即x1+x2+x3=180，而z=a(x1+x2+x3)+b(x1^2+ x2^2

+x3^2)+c[(x1-40)+(x1+x2-100)]，故a的变化不会影响生产计划；b是x的二次项的系数，它反映了生产费用。当b比较大时，生产费用占主导地位，x1,x2,x3应趋于相等；而当b较小时，贮存费占主导地位，此时应使每季度的贮存量较少。c反映了贮存费。当c较大时，贮存费占主导地位，此时应使贮存量尽量少；而当c较小时，生产费用占主导地位，x1,x2,x3应趋于相等。

3.一基金管理人的工作是，每天将现有的美元、英镑、马克、日元四种货币按当天汇率相互兑换，使在满足需要的条件下，按美元计算的价值最高．设某天的汇率、现有货币和当天需求如下：

美元 英镑 马克 日元 现有量需求量(?108) 美元 英镑 马克 日元 1 1.697 .57372 .007233 .58928 1 .33808 .00426 1.743 2.9579 1 .0126 138.3 234.7 79.346 1 8 1 8 0 (?108) 6 3 1 10