习题4
4-1．如图所示的圆锥摆，绳长为l，绳子一端固定，另一端系一质量为m的质点，以匀角速ω绕铅直线作圆周运动，绳子与铅直线的夹角为θ。在质点旋转一周的过程中，试求：
（1）质点所受合外力的冲量I； （2）质点所受张力T的冲量IT。
解：（1）设周期为?，因质点转动一周的过程中， 速度没有变化，v1?v2，由I??mv， ∴旋转一周的冲量I?0；
（2）如图该质点受的外力有重力和拉力， 且Tcos??mg，∴张力T旋转一周的冲量：
l??TmgIT?Tcos???j?mg?2??2?mg所以拉力产生的冲量为，方向竖直向上。
?
j
4-2．一物体在多个外力作用下作匀速直线运动，速度v?4m/s。已知其中一力 F方向恒与运动方向一致，大小随时间变化内关系曲线为半个椭圆，如图。求：
（1）力F在1s到3s间所做的功；
??解：（1）A??F?dx??Fdx??Fvdt?v?Fdt?v?半椭圆面积
1?4???1?20?40??125.6J
2（2）由动能定理可知，当物体速度不变时，外力做的 总功为零，所以当该F做的功为125.6J时，其他的力 的功为?125.6J。
4-3．质量为m的质点在Oxy平面内运动，运动学方程为
2010（2）其他力在1s到3s间所做的功。
F(N)t(s)O123r?acos?ti?bsin?tj，求：
（1）质点在任一时刻的动量；
..
（2）从t?0到t?2?/?的时间内质点受到的冲量。 解：（1）根据动量的定义：P?mv，而v?dr??a?sin?ti?b?cos?tj， dt∴P(t)??m?(asin?ti?bcos?t)j ； （2）由I??mv?P(所以冲量为零。
4-4．质量为M=2.0kg的物体（不考虑体积），用一根长为l=1.0m的细绳悬挂在天花板上。今有一质量为m=20g的子弹以v0=600m/s的水平速度射穿物体。刚射出物体时子弹的速度大小v=30m/s，设穿透时间极短。求：
（1）子弹刚穿出时绳中张力的大小； （2）子弹在穿透过程中所受的冲量。
解：（1）解：由碰撞过程动量守恒可得：mv0?mv?Mv1
∴v1?2??)?P(0)?m?bj?m?bj?0 ，
mv0?mv?5.7m/s Mv12v12根据圆周运动的规律：T?Mg?M，有：T?Mg?M ?84.6N；
ll（2）根据冲量定理可得：I?mv?mv0??0.02?570??11.4N?s。
4-5．一静止的原子核经放射性衰变产生出一个电子和一个中微子，巳知电子的动量为1.2?10?22kg?m/s，中微子的动量为6.4?10?23kg?m/s，两动量方向彼此
垂直。（1）求核反冲动量的大小和方向；（2）已知衰变后原子核的质量为5.8?10?26kg，求其反冲动能。
解：由碰撞时，动量守恒，分析示意图，有： （1）P核?2222?22P 电子?P中微子?1.2?0.64?10?22P中微子?P电子 ?1.36?10kgm/s
P核P0.640 又∵tan??中微子?，∴??28.1 ，
P1.2电子?所以P核?1.4?10?22kgm/s ，??????151.9 ；
..
2P核?0.17?10?18J。 （2）反冲的动能为：Ek?2m核
4-6．一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为F?400?4?105t(N)，子弹3从枪口射出时的速率为300m/s。设子弹离开枪口处合力刚好为零。求：
（1）子弹走完枪筒全长所用的时间t； （2）子弹在枪筒中所受力的冲量I； （3）子弹的质量。
解：（1）由于离开枪口处合力刚好为零，有：400?得：t?3?10s；
（2）由冲量定义：I??34?105t?0， 3?t0Fdt有：
0.00342I??（400??105t）dt?(400t??105t2)0.003?0.6N?s 0033I（3）再由m?，有：m?0.6/300?2?10?3kg。
v
4-7．有质量为2m的弹丸，从地面斜抛出去，它的落地点为xc。如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相等的两碎片。其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水平抛出，它们同时落地。问第二块碎片落在何处。
解：利用质心运动定理，在爆炸的前后，质心始终只受重力的作用，因此，质心的轨迹为一抛物线，它的落地点为xc。
xc?xm1x1?m2x2，而m1?m2?m， x1?c，
m1?m22yx水平方向质心不变，总质心仍为xc，所以
1xcm?mx232xc??x2?xc
2m2Oxc/2xc..
4-8．两个质量分别为m1和m2的木块A、B，用一劲度系数为k的轻弹簧连接，放在光滑的水平面上。A紧靠墙。今用力推B块，使弹簧压缩x0然后释放。（已知m1?m，m2?3m）求：（1）释放后A、B两滑块速度相等时的瞬时速度的大小；（2）弹簧的最大伸长量。
解：分析题意，首先在弹簧由压缩状态回到原长时，是弹簧的弹性势能转换为B木块的动能，然后B带动A一起运动，此时动量守恒，两者具有相同的速度v 时，弹簧伸长最大，由机械能守恒可算出其量值。
11m2v202?kx02（1） 2 2m2v20?（m1?m2）v
m2x03xkk； ?0m1?m2m243m112122（2）m2v20?kx?（m1?m2）v
2221那么计算可得：x?x0
2所以：v? A B P O 4-9．如图所示，质量为mA的小球A沿光滑的弧形轨道滑下，与放在轨道端点P处(该处轨道的切线为水平的)的静止小球B发生弹性正碰撞，小球B的质量为
LA LB mB，A、B两小球碰撞后同时落在水平地面上．如果A、B两球的落地点距P点正下方O点的距离之比LA / LB =2/5，求：两小球的质量比mA /mB． 解：A、B两球发生弹性正碰撞，由水平方向动量守恒与机械能守恒，得
mAvA0?mAvA?mBvB ①
..