2014-2015学年浙江省杭州二中高三(上)第二次月考数学试卷(文科) 下载本文

考点: 直线与平面所成的角. 专题: 空间角. 分析: 利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知,∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角.利用三棱锥的体积计算公式可得AA1,再利用正三角形的性质可得A1P,在Rt△AA1P中,利用tan∠APA1=

,可得结论.

解答: 解:如图所示,

∵AA1⊥底面A1B1C1,∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角, ∵平面ABC∥平面A1B1C1,∴∠APA1为PA与平面ABC所成角. ∵

=

=

. =

AA1,解得

=1,

∴V三棱柱ABC﹣A1B1C1=

又P为底面正三角形A1B1C1的中心,∴A1P=

在Rt△AA1P中,tan∠APA1=∴∠APA1=60°. 故答案为:60°.

=,

点评: 本题考查线面角,掌握正三角形的性质、线面角的定义是解题的关键.

15.已知sinα,cosα是关于x的方程x﹣ax+a=0的两个根,则sinα+cosα=

考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值.

33

分析: 利用韦达定理化简求得a的值,再利用立方和公式求出sinα+cosα 的值. 解答: 解:由题意利用韦达定理可得sinα+cosα=a,sinα?cosα=a,

2

∴1+2a=a,解得 a=1±.

2

再根据判别式△=a﹣4a≥0,可得 a≤0,或 a≥4, ∴a=1﹣.

2

3

3

∴sinα+cosα=(sinα+cosα)(1﹣sinαcosα)=a(1﹣a)=a﹣a=(1﹣﹣2+,

332

)﹣(1﹣)=

2

故答案为:. 点评: 本题主要考查韦达定理、立方和公式的应用,属于基本知识的考查.

16.已知O是△ABC外心,若

考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 分别在

两边同乘以

能够得到

,则cos∠BAC= .

,所以联立这两个式子即可求出cos∠BAC.

解答: 解:如图,取AB中点D,AC中点E,并连接OD,OE,则: cos∠BAO=

,cos∠CAO=

∴在

两边同乘以

=得:

,;

?cos∠BAC;

∴同理在

①;

两边同乘以

得:

②;

由①得,

,带入②得:

,由①知∠BAC>0;

∴故答案为:

点评: 考查余弦函数的定义的运用:cos

17.已知函数f(x)=﹣x,对的取值范围为 (﹣∞,

] .

,以及向量的数量积的计算公式.

,有f(1﹣x)≥恒成立,则实数a

考点: 函数恒成立问题. 专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: 由f(x)=﹣x为[把f(1﹣x)≥x∈[

]上的减函数,可得对

,有f(x)>0,恒成立,结合

时,f(1﹣x)?f(x)取得

恒成立转化为a≤f(1﹣x)?f(x)对

],可得当f(1﹣x)=f(x),即

],有1﹣x∈[

最小值得答案.

解答: 解:∵(fx)=﹣x为[

]上的减函数,∴

则f(1﹣x)≥又x∈[

恒成立转化为a≤f(1﹣x)?f(x)对

],

,也就是

时,

恒成立,

],1﹣x∈[

∴当f(1﹣x)=f(x),即

∴a.

].

∴实数a的取值范围为(﹣∞,故答案为:(﹣∞,

].

点评: 本题考查函数恒成立问题,考查数学转化思想方法,解答此题的关键是明确当x=时函数f(1﹣x)?f(x)取得最小值,属中高档题.

三、解答题

18.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcosC+(Ⅰ)求B;

(Ⅱ)若b=,求2a+c的取值范围.

考点: 正弦定理;余弦定理.

bsinC﹣a﹣c=0.

专题: 解三角形.

分析: (1)已知等式利用正弦定理化简,整理后求出sin(B﹣

)的值,根据B为三角

形内角,确定出B的度数即可;

(2)由b,sinB的值,利用正弦定理求出2R的值,2a+c利用正弦定理化简,把2R的值代入并利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,由正弦函数的值域确定出范围即可.

解答: 解:(1)由正弦定理知:sinBcosC+sinBsinC﹣sinA﹣sinC=0,

把sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC代入上式得:sinBsinC﹣cosBsinC﹣sinC=0, ∵sinC≠0, ∴

sinB﹣cosB﹣1=0,即sin(B﹣

)=,

∵B为三角形内角, ∴B=

=

=2,

(2)由(1)得:2R=

∴2a+c=2R(2sinA+sinC)=4sinA+2sin(其中sinθ=∵A∈(0,

,cosθ=),

﹣A)=5sinA+cosA=2sin(A+θ),

∴2∈(,2],

则2a+c的范围为(,2]. 点评: 此题考查了正弦定理,两角和与差的正弦函数公式,以及正弦函数的定义域与值域,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦定理是解本题的关键.

19.如图,在三棱锥P﹣ABC中,BC⊥平面PAB.已知PA=AB,D,E分别为PB,BC的中点.

(1)求证:AD⊥平面PBC;

(2)若点F在线段AC上,且满足AD∥平面PEF,求

的值.