8．已知F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为（ ） A．
﹣1
B． 2﹣
C．
D．
考点： 椭圆的简单性质． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 由已知条件推导出|MF2|=c，|F1F2|=2c，∠F1MF2=90°，从而得到|MF1|=求出椭圆的离心率．
解答： 解：∵F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，
现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N， 过F1的直线MF1是圆F2的切线， ∴|MF2|=c，|F1F2|=2c，∠F1MF2=90°， ∴|MF1|=∴2a=
∴椭圆的离心率e==故选：A．
=
， ， =
．
，由此能
点评： 本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．
9．若等差数列{an}满足a1+a10=10，则S=a10+a11+…+a19的最大值为（ ） A． 60 B． 50 C． 45 D． 40
考点： 等差数列的性质． 专题： 等差数列与等比数列．
22
分析： 设等差数列的公差为d，由等差数列的通项公式得（a10﹣9d）+a10=10，由求和公式可得a10=
代入（a10﹣9d）+a10=10整理可得关于d的方程，由△≥0可得S的不
2
2
2
2
等式，解不等式可得．
解答： 解：设等差数列的公差为d，
2222由a1+a10=10得，（a10﹣9d）+a10=10， 因为S=a10+a11+…+a19=10a10+45d，
则a10=，代入（a10﹣9d）+a10=10，
2
2
2
2
22
并整理可得（135+45）d﹣360dS+2S﹣1000=0，
22222
由关于d的二次方程有实根可得△=360S﹣4（135+45）（2S﹣1000）≥0，
2
化简可得S≤2500，解得S≤50 故选：B． 点评： 本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式，以及二次函数方程根的存在性，考查转化思想，属中档题．
10．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，在（0，2]上是增函数，且f（x﹣4）=﹣f（x），给出下列结论：
①若0＜x1＜x2＜4且x1+x2=4，则f（x1）+f（x2）＞0； ②若0＜x1＜x2＜4且x1+x2=5，则f（x1）＞f（x2）；
③若方程f（x）=m在[﹣8，8]内恰有四个不同的实根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=﹣8或8；
④函数f（x）在[﹣8，8]内至少有5个零点，至多有13个零点 其中结论正确的有（ ） A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
考点： 根的存在性及根的个数判断；奇偶性与单调性的综合． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 先由“f（x）是奇函数且f（x﹣4）=﹣f（x）”转化得到f（x﹣8）=f（x），即函数f（x）为周期8的周期函数，然后按照条件↓
解答： 解：∵f（x）是奇函数且f（x﹣4）=﹣f（x）， ∴f（x﹣8）=﹣f（x﹣4）=f（x），f（0）=0
∴函数f（x）为周期8的周期函数，根据题意可画出这样的图形：如图所示，
∵定义在R上的奇函数，在（0，2]上是增函数， ∴在（﹣2，0]上是增函数， 即（﹣2，2）上是增函数，
①若0＜x1＜x2＜4且x1+x2=4，则0＜x1＜2，2＜x2＜4，0＜4﹣x2＜2，﹣2＜x2﹣4＜0， ∴f（4﹣x2）＞f（x2﹣4），
又∵f（x1）=f（4﹣x2），﹣f（x2）=f（x2﹣4）， ∴f（x1）＞﹣f（x2），即f（x1）+f（x2）＞0，故①正确；
②若0＜x1＜x2＜4且x1+x2=5，则0＜x1＜，＜x2＜5，观察可知f（x1）＞f（x2），故②正确；
③若方程f（x）=m在[﹣8，8]内恰有四个不同的实根x1，x2，x3，x4，当m＞0时（如上方虚线所示），可知 左边两个交点之和为﹣12（因为两个交点关于﹣6对称，一个交点可表示为﹣6﹣x0，另一个交点可表示为﹣6+x0），y轴右边的两个交点之和为4，则x1+x2+x3+x4=﹣8，同理m＜0时x1+x2+x3+x4=8，故③正确；
④函数f（x）在[﹣8，8]内有5个零点，故④不正确， 结论正确的有①②③， 故选：C 点评： 本题主要考查函数奇偶性周期性和单调性的综合运用，综合性较强题考查了函数的奇偶性，对称性及周期性的性质，解答此题的关键在于由已知等式得到函数对称轴方程和周期，属中档题
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11．函数f（x）=
的所有零点所构成的集合为 {﹣1，1} ．
考点： 函数零点的判定定理． 专题： 计算题；函数的性质及应用．
分析： 由题意，当x≤0时，x+1=0，解得，x=﹣1；当x＞0时，log2x=0，解得，x=1；从而解得．
解答： 解：当x≤0时，x+1=0，解得，x=﹣1； 当x＞0时，log2x=0，解得，x=1； 故答案为：{﹣1，1}． 点评： 本题考查了分段函数的应用，属于基础题．
12．如图为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度（单位：km）：AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，如图所示，且A、B、C、D四点共圆，则AC的长为 7 km．
考点： 余弦定理的应用． 专题： 应用题；解三角形． 分析： 利用余弦定理，结合∠B+∠D=π，即可求出AC的长．
解答： 解：∵A、B、C、D四点共圆，圆内接四边形的对角和为π．
∴∠B+∠D=π，
∴由余弦定理可得AC=5+3﹣2?5?3?cosD=34﹣30cosD， 222
AC=5+8﹣2?5?8?cosB=89﹣80cosB， ∵∠B+∠D=π，即cosB=﹣cosD， ∴
=
，
2
2
2
∴可解得AC=7． 故答案为：7 点评： 本题考查余弦定理，考查三角函数知识，正确运用余弦定理是关键，属于基本知识的考查．
13．在△ABC中，∠A=|=
2
，D是BC边上任意一点（D与B、C不重合），且丨
．
，则∠B=
考点： 解三角形． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 做高AE，不妨设E在CD上，设AE=h，CE=x，CD=p，BD=q，则DE=p﹣x，BE=p+q﹣x，根据勾股定理可分别表示出AD和AB，进而求得的表达式，根据题设等式可知pq=BD?CD，进而化简整理求得x=
=
，推断出ABC为等腰三角形．进而根据顶角求
2
2
得B．
解答： 解：做高AE，不妨设E在CD上，设AE=h，CE=x，CD=p，BD=q，则DE=p﹣x，BE=p+q﹣x，
22222
则AD=AE+DE=h+（p﹣x）， 22222AB=AE+BE=h+（p+q﹣x）， 2222
AB﹣AD=（p+q﹣x）﹣（p﹣x）=q（q+2p﹣2x）， 即pq=BD?CD=q（q+2p﹣2x）， q≠0，所以 p=q+2p﹣2x， x=
=
，
即E为BC中点，于是ABC为等腰三角形． 顶角为故答案为
，则底角B=
．
点评： 本题主要考查了解三角形问题．解题的关键是通过题设条件建立数学模型，考查了学生分析问题和解决问题的能力．
14．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为
的正三角
形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成的角的大小为 60° ．