题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．

27．（14分）如图，二次函数y＝ax2﹣3ax+c的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C直线y＝﹣x+4经过点B、C． （1）求抛物线的表达式；

（2）过点A的直线交抛物线于点M，交直线BC于点N．

①点N位于x轴上方时，是否存在这样的点M，使得AM：NM＝5：3？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角∠ANB等于∠ACB的2倍时，请求出点M的横坐标．

【分析】（1）由直线y＝﹣x+4知：点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，4），则二次函数表达式为：y＝ax2﹣3ax+4，将点A的坐标代入上式，即可求解； （2）①设点N（m，mk+k），即：mk+k＝﹣m+4…①，则点M[m+，点M的坐标代入二次函数表达式得：

＝﹣（

+）2+3（

]，将

+）+4…②，

联立①②即可求解；②当∠ANB＝2∠ACB时，则∠ANB＝90°，即可求解． 【解答】解：（1）由直线y＝﹣x+4知：点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，4）， 则二次函数表达式为：y＝ax2﹣3ax+4，将点A的坐标代入上式并解得：a＝﹣1， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4， 则点A（﹣1，0）； （2）①存在，理由：

设直线AM的表达式为：y＝kx+b， 将点A的坐标代入上式并解得： 直线AM的表达式为：y＝kx+k，

如图1所示，分别过点M、N作x轴的垂线交于点H、G，

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∵AM：NM＝5：3，则MH＝NG，

设点N（m，mk+k），即：mk+k＝﹣m+4…①， 则点M[m+，

]，

将点M的坐标代入二次函数表达式得：

＝﹣（

+）2+3（

+）+4…②，

联立①②并整理得：5m2﹣2m+3＝0， 解得：m＝1或﹣（舍去负值）， 故点M（4，

）；

②当∠ANB＝2∠ACB时，如下图，

∵OB＝OC，∴∠ABC＝45°， 则∠ANB＝90°， 即点N在AB的中垂线上， 则点M、C关于函数对称轴对称， 故点M（3，4）．

【点评】本题为二次函数综合题，涉及到一次函数、平行线分线段成比例等，其中（2）①，数据处理较为复杂，而准确简洁确定点的坐标是解题的关键．

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