江苏省盐城市建湖县2019年中考数学二模试卷(含解析) 下载本文

题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题.

27.(14分)如图,二次函数y=ax2﹣3ax+c的图象与x轴交于点A、B,与y轴交于点C直线y=﹣x+4经过点B、C. (1)求抛物线的表达式;

(2)过点A的直线交抛物线于点M,交直线BC于点N.

①点N位于x轴上方时,是否存在这样的点M,使得AM:NM=5:3?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

②连接AC,当直线AM与直线BC的夹角∠ANB等于∠ACB的2倍时,请求出点M的横坐标.

【分析】(1)由直线y=﹣x+4知:点B、C的坐标分别为(4,0)、(0,4),则二次函数表达式为:y=ax2﹣3ax+4,将点A的坐标代入上式,即可求解; (2)①设点N(m,mk+k),即:mk+k=﹣m+4…①,则点M[m+,点M的坐标代入二次函数表达式得:

=﹣(

+)2+3(

],将

+)+4…②,

联立①②即可求解;②当∠ANB=2∠ACB时,则∠ANB=90°,即可求解. 【解答】解:(1)由直线y=﹣x+4知:点B、C的坐标分别为(4,0)、(0,4), 则二次函数表达式为:y=ax2﹣3ax+4,将点A的坐标代入上式并解得:a=﹣1, 故抛物线的表达式为:y=﹣x2+3x+4, 则点A(﹣1,0); (2)①存在,理由:

设直线AM的表达式为:y=kx+b, 将点A的坐标代入上式并解得: 直线AM的表达式为:y=kx+k,

如图1所示,分别过点M、N作x轴的垂线交于点H、G,

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∵AM:NM=5:3,则MH=NG,

设点N(m,mk+k),即:mk+k=﹣m+4…①, 则点M[m+,

],

将点M的坐标代入二次函数表达式得:

=﹣(

+)2+3(

+)+4…②,

联立①②并整理得:5m2﹣2m+3=0, 解得:m=1或﹣(舍去负值), 故点M(4,

);

②当∠ANB=2∠ACB时,如下图,

∵OB=OC,∴∠ABC=45°, 则∠ANB=90°, 即点N在AB的中垂线上, 则点M、C关于函数对称轴对称, 故点M(3,4).

【点评】本题为二次函数综合题,涉及到一次函数、平行线分线段成比例等,其中(2)①,数据处理较为复杂,而准确简洁确定点的坐标是解题的关键.

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