∴AP⊥PF，则丨AP丨=1，丨PF丨=3， ∴△APF的面积S=×丨AP丨×丨PF丨=， 同理当y＜0时，则△APF的面积S=， 故选D．

二．填空题（共2小题） 11．过双曲线

的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，

F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是 20 ． 【解答】解：

∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=8 ∵双曲线x2﹣∵PQ=8

∴PQ是双曲线的通径

∴PQ⊥F1F2，且PF1=QF1=PQ=4

∵由题意，|PF2|﹣|PF1|=2，|QF2|﹣|QF1|=2 ∴|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+4=4+4+4=12 ∴△PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=12+8=20， 故答案为20．

第9页（共14页）

=1的通径为==8

12．设F1，F2分别是双曲线支上存在一点P，使则该双曲线的离心率为 ．

的左、右焦点，若双曲线右

，O为坐标原点，且

，

【解答】解：取PF2的中点A，则 ∵∴2∴

?

=0， ，

，

∵OA是△PF1F2的中位线， ∴PF1⊥PF2，OA=PF1．

由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a， ∵|PF1|=∴|PF2|=

|PF2|， ，|PF1|=

．

△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4c2， ∴（∴e=

）2+（．

．

）2=4c2，

故答案为：

三．解答题（共4小题）

13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣

=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的

直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°． （1）求双曲线C的方程；

（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求

?

的值．

，

【解答】解：（1）设F2，M的坐标分别为

第10页（共14页）

因为点M在双曲线C上，所以在Rt△MF2F1中，∠MF1F2=30°，由双曲线的定义可知：故双曲线C的方程为：

…（6分）

，即，所以

，所以…（3分）

，

（2）由条件可知：两条渐近线分别为

设双曲线C上的点Q（x0，y0），设两渐近线的夹角为θ， 则

点

Q

到

两

条

渐

近

线

的

距

离

…（8分）

分别为

，…（11分）

因为Q（x0，y0）在双曲线C：所以

，又cosθ=，

上，

所以分）

=﹣…（14

14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：

倍．

+=1有相同的焦

点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的（Ⅰ）求曲线C1的方程；

（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=

，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．

…（2分）

【解答】（Ⅰ）解：由题知：a2+b2=2，曲线C2的离心率为∵曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的∴

倍，

=

即a2=b2，…（3分）

第11页（共14页）

∴a=b=1，∴曲线C1的方程为x2﹣y2=1； …（4分） （Ⅱ）证明：由直线AB的斜率不能为零知可设直线AB的方程为：x=ny+（5分）

与双曲线方程x2﹣y2=1联立，可得（n2﹣1）y2+2设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣由题可设点C（

，y2），

（x﹣

） …（9分） ny+1=0

，…（7分）

…

，y1y2=

由点斜式得直线AC的方程：y﹣y2=

令y=0，可得x=== …（11分）

∴直线AC过定点（（12分）

15．已知双曲线Γ：

，0）． …

的离心率e=

﹣1．

，双曲线Γ上任意一

点到其右焦点的最小距离为（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；

（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==

，

当P为右顶点时，可得PF取得最小值， 即有c﹣a=解得a=1，c=

﹣1， ，b=

=

，

可得双曲线的方程为x2﹣=1；

（Ⅱ）过点P（1，1）假设存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，

第12页（共14页）