启智明德，优享未来！
解:已知a⊥α,b⊥α. 求证：a∥b.
图6
证明：（反证法）如图6，假定a与b不平行，且b∩α=O,作直线b′，使O∈b′,a∥b′. 直线b′与直线b确定平面β，设α∩β=c,则O∈c.
∵a⊥α,b⊥α,∴a⊥c,b⊥c.∵b′∥a,∴b′⊥c.又∵O∈b,O∈b′,b?β,b′?β,a∥b′显然不可能，因此b∥a.
例10 如图7，已知α∩β=l,EA⊥α于点A,EB⊥β于点B,a?α,a⊥AB. 求证:a∥l.
图7
证明：
EA??,EB???l?EA?????l⊥平面EAB.
????l?l?EB?又∵a?α,EA⊥α,∴a⊥EA.又∵a⊥AB,∴a⊥平面EAB. ∴a∥l.
例11 如图8,已知直线a⊥b，b⊥α，a?α. 求证：a∥α.
图8
证明：在直线a上取一点A，过A作b′∥b，则b′必与α相交，设交点为B，过相交直线a、b′作平面β，设α∩β=a′, ∵b′∥b，a⊥b,∴a⊥b′.∵b⊥α，b′∥b,∴b′⊥α.
又∵a′?α,∴b′⊥a′.由a，b′，a′都在平面β内，且b′⊥a，b′⊥a′知a∥a′.∴a∥α.
例12 如图9，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点. （1）求证：MN⊥CD；
（2）若∠PDA=45°，求证:MN⊥面PCD.
图9
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证明：(1)取PD中点E,又N为PC中点,连接NE,则NE∥CD,NE=
12CD.
又∵AM∥CD,AM=
12CD,
∴AMNE.
∴四边形AMNE为平行四边形. ∴MN∥AE.
?PA?平面ABCD?CD?PA?????CD?平面ADP?∵CD?平面ABCD?CD?AD???CD⊥AE.
?AE?平面ADP?(2)当∠PDA=45°时,Rt△PAD为等腰直角三角形,则AE⊥PD.又MN∥AE,∴MN⊥PD,PD∩CD=D.∴MN⊥平面PCD. 练习：
已知a、b、c是平面α内相交于一点O的三条直线，而直线l和平面α相交，并且和a、b、c三条直线成等角.求证：l⊥α. 证明：分别在a、b、c上取点A、B、C并使AO=BO=CO.设l经过O，在l上取一点P，在△POA、△POB、△POC中， ∵PO=PO=PO，AO=BO=CO，∠POA=∠POB=∠POC，∴△POA≌△POB≌△POC. ∴PA=PB=PC.取AB的中点D,连接OD、PD，则OD⊥AB，PD⊥AB. ∵PD∩OD=D,∴AB⊥平面POD.∵PO?平面POD,∴PO⊥AB. ∴l⊥α.
例13 如图7，已知α⊥β，a⊥β,a?α,试判断直线a与平面α的位置关系.
同理,可证PO⊥BC.∵AB?α，BC?α，AB∩BC=B,∴PO⊥α，即l⊥α.若l不经过点O时，可经过点O作l′∥l.用上述方法证明l′⊥α，
图7
解:在α内作垂直于α与β交线的垂线b, ∵α⊥β,∴b⊥β.∵a⊥β,∴a∥b.∵a?α,∴a∥α. 练习：
如图8,已知平面α交平面β于直线a.α、β同垂直于平面γ，又同平行于直线b.求证：(1)a⊥γ；(2)b⊥γ.
图8 图9
证明：如图9,
(1)设α∩γ=AB，β∩γ=AC.在γ内任取一点P并在γ内作直线PM⊥AB，PN⊥AC. ∵γ⊥α，∴PM⊥α.而a?α，∴PM⊥a.同理,PN⊥a.又PM?γ，PN?γ，∴a⊥γ. (2)在a上任取点Q，过b与Q作一平面交α于直线a1，交β于直线a2.∵b∥α，∴b∥a1.
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同理,b∥a2.∵a1、a2同过Q且平行于b，∴a1、a2重合.又a1?α，a2?β，∴a1、a2都是α、β的交线，即都重合于a.∵b∥a1，∴b∥a.而a⊥γ，∴b⊥γ.
例14 如图10，四棱锥P—ABCD的底面是AB=2，BC=
2的矩形，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD.
图10 图11
（1）证明侧面PAB⊥侧面PBC； （2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角； （3）求直线AB与平面PCD的距离.
（1）证明：在矩形ABCD中，BC⊥AB,又∵面PAB⊥底面ABCD,侧面PAB∩底面ABCD=AB,∴BC⊥侧面PAB.又∵BC?侧面PBC,∴侧面PAB⊥侧面PBC.
（2）解：如图11,取AB中点E，连接PE、CE,又∵△PAB是等边三角形,∴PE⊥AB.又∵侧面PAB⊥底面ABCD，∴PE⊥面ABCD. ∴∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成角.PE=（3）解：在矩形ABCD中，AB∥CD,
∵CD?侧面PCD，AB?侧面PCD，∴AB∥侧面PCD.取CD中点F，连接EF、PF，则EF⊥AB.又∵PE⊥AB,∴AB⊥平面PEF.又∵AB∥CD,∴CD⊥平面PEF.∴平面PCD⊥平面PEF.作EG⊥PF，垂足为G，则EG⊥平面PCD.在Rt△PEF中，EG=为所求. 练习：
如图12，斜三棱柱ABC—A1B1C1的棱长都是a，侧棱与底面成60°角，侧面BCC1B1⊥面ABC.求平面AB1C1与底面ABC所成二面角的大小.
322BA=3,CE=BE?BC2=
3,在Rt△PEC中，∠PCE=45°为所求.
PE?EC30?PF5
图12
解：∵面ABC∥面A1B1C1，则面BB1C1C∩面ABC=BC,面BB1C1C∩面A1B1C1=B1C1,∴BC∥B1C1，则B1C1∥面ABC. 设所求两面交线为AE，即二面角的棱为AE,则B1C1∥AE，即BC∥AE. 过C1作C1D⊥BC于D，∵面BB1C1C⊥面ABC,∴C1D⊥面ABC，C1D⊥BC. 又∠C1CD=60°,CC1=a,故CD=
a,即2D为BC的中点.又△ABC是等边三角形,∴BC⊥AD.那么有BC⊥面DAC1,即AE⊥面DAC1.故
AE⊥AD，AE⊥AC1,∠C1AD就是所求二面角的平面角. ∵C1D=
33a，AD=a，C1D⊥AD,故∠C1AD=45°. 22例15 如图13，把等腰直角三角形ABC沿斜边AB旋转至△ABD的位置，使CD=AC,
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图13
（1）求证：平面ABD⊥平面ABC； （2）求二面角CBDA的余弦值.
（1）证明：(证法一):由题设,知AD=CD=BD,作DO⊥平面ABC，O为垂足，则OA=OB=OC.∴O是△ABC的外心，即AB的中点.∴O∈AB，即O∈平面ABD.∴OD?平面ABD.∴平面ABD⊥平面ABC.
(证法二):取AB中点O，连接OD、OC,则有OD⊥AB，OC⊥AB，即∠COD是二面角CABD的平面角.设AC=a，则OC=OD=又CD=AD=AC,∴CD=a.∴△COD是直角三角形，即∠COD=90°.∴二面角是直二面角，即平面ABD⊥平面ABC.
（2）解:取BD的中点E，连接CE、OE、OC,∵△BCD为正三角形，∴CE⊥BD.又△BOD为等腰直角三角形,∴OE⊥BD.∴∠OEC为二面角CBDA的平面角.同（1）可证OC⊥平面ABD,∴OC⊥OE.∴△COE为直角三角形. 设BC=a，则CE=练习：
如图14，在矩形ABCD中，AB=33,BC=3，沿对角线BD把△BCD折起，使C移到C′，且C′在面ABC内的射影O恰好落在AB上.
2a,213a，OE=
22a,∴cos∠OEC=
OE3即为所求. ?CE3
图14
（1）求证：AC′⊥BC′；
（2）求AB与平面BC′D所成的角的正弦值； （3）求二面角C′BDA的正切值.
（1）证明：由题意,知C′O⊥面ABD,∵C′O?ABC′,∴面ABC′⊥面ABD.
又∵AD⊥AB,面ABC′∩面ABD=AB,∴AD⊥面ABC′.∴AD⊥BC′.∵BC′⊥C′D,∴BC′⊥面AC′D.∴BC′⊥AC′. (2)解:∵BC′⊥面AC′D,BC′?面BC′D,∴面AC′D⊥面BC′D.
作AH⊥C′D于H,则AH⊥面BC′D,连接BH,则BH为AB在面BC′D上的射影,∴∠ABH为AB与面BC′D所成的角. 又在Rt△AC′D中,C′D=33,AD=3,∴AC′=3
2.∴AH=6.
.
∴sin∠ABH=
AH22?,即AB与平面BC′D所成角的正弦值为AB33(3)解:过O作OG⊥BD于G,连接C′G,则C′G⊥BD,则∠C′GO为二面角C′BDA的平面角. 在Rt△AC′B中,C′O=
AC'?BC'?6,
AB