启智明德，优享未来！

如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行. 解：已知α∥β，γ∥β，求证：α∥γ.

证明：如图12，作两个相交平面分别与α、β、γ交于a、c、e和b、d、f,

图12

?a//c??//?????b//d??a//e?a//????????//?b//f?b//??c//e????//????d//f??四、垂直关系（包括线面垂直，面面垂直） 1.线面垂直

.

①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。 符号表述：若任意a??,都有l?a，且l??，则l??.

a,b???a?b?O???②判定定理：l????l??（线线垂直?线面垂直）

?l?a?l?b??③性质：（1）2面面斜交

①二面角：（1）定义：【如图】

l??,a???l?a（线面垂直?线线垂直）；（2）a??,b???a//b；

OB?l,OA?l??AOB是二面角?－l??的平面角

范围：?AOB?[0?,180?]

②作二面角的平面角的方法：定义法；

3面面垂直

（1）定义：若二面角??l??的平面角为90?，则???；

（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.

a????????（线面垂直?面面垂直） a???

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（3）性质：①若???，二面角的一个平面角为?MON，则

?MON?90?；

????a???AB??②； ??a??（面面垂直?线面垂直）a???a?AB

例1 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面. 解：已知a∥b，a⊥α.求证：b⊥α.

??

图7

证明：如图7,在平面α内作两条相交直线m、n，设m∩n=A. 练习：

如图8,已知点P为平面ABC外一点，PA⊥BC，PC⊥AB，求证：PB⊥AC.

图8

证明：过P作PO⊥平面ABC于O，连接OA、OB、OC.∵PO⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PO⊥BC. 又∵PA⊥BC，∴BC⊥平面PAO.又∵OA?平面PAO，∴BC⊥OA.同理,可证AB⊥OC.∴O是△ABC的垂心. ∴OB⊥AC.可证PO⊥AC.∴AC⊥平面PBO.又PB?平面PBO，∴PB⊥AC.

例2 如图9,在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.

图9

解：连接BC1交B1C于点O，连接A1O. 设正方体的棱长为a，

因为A1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1B,所以A1B1⊥平面BCC1B1. 所以A1B1⊥BC1.

又因为BC1⊥B1C，所以BC1⊥平面A1B1CD.

所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，∠BA1O为直线A1B与平面A1B1CD所成的角. 在Rt△A1BO中,A1B=

2a,BO=

12a,所以BO=A1B,∠BA1O=30°.

22启智明德，优享未来！

因此,直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°. 练习：

如图10，四面体A—BCD的棱长都相等，Q是AD的中点，求CQ与平面DBC所成的角的正弦值.

图10

解：过A作AO⊥面BCD，连接OD、OB、OC，则可证O是△BCD的中心, 作QP⊥OD,∵QP∥AO,∴QP⊥面BCD.连接CP，则∠QCP即为所求的角. 设四面体的棱长为a，

∵在正△ACD中，Q是AD的中点,∴CQ=∵QP∥AO，Q是AD的中点, ∴QP=

例3 （2007山东高考,文20）如图11(1)，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC.

3a. 2QP21123166. ?AO?a?(a)2??a?a，得sin∠QCP=

CQ3223236

(1)

(1)求证：D1C⊥AC1；

（2）设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由. （1）证明：在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中， 连接C1D，如图11(2).

(2)

∵DC=DD1，∴四边形DCC1D1是正方形.∴DC1⊥D1C.又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1=D,∴AD⊥平面DCC1D1，D1C?平面DCC1D1. ∴AD⊥D1C.∵AD、DC1?平面ADC1，且AD∩DC1=D,∴D1C⊥平面ADC1.又AC1?平面ADC1，∴D1C⊥AC1. (2)解：连接AD1、AE，如图11(3).

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(3) 图11

设AD1∩A1D=M,BD∩AE=N,连接MN，∵平面AD1E∩平面A1BD=MN，要使D1E∥平面A1BD， 需使MN∥D1E，又M是AD1的中点，∴N是AE的中点.又易知△ABN≌△EDN， ∴AB=DE,即E是DC的中点.

综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD. 练习：

如图12，在正方体ABCD—A1B1C1D1，G为CC1的中点，O为底面ABCD的中心. 求证：A1O⊥平面GBD.

图12

??A1A?BD???BD?平面A1AO?证明：AC?BD???BD⊥A1O.

A1O?面A1AO??又∵A1O2=A1A2+AO2=a2+(

223222aa)=a,OG2=OC2+CG2=(a)+(

2222a292)=a, 24)2=

32a, 4A1G2=A1C12+C1G2=(∴A1O2+OG2=A1G2.

2a)2+(

∴A1O⊥OG.又BD∩OG=O,∴A1O⊥平面GBD.

例4 如图13，ABCD为正方形，过A作线段SA⊥面ABCD，又过A作与SC垂直的平面交SB、SC、SD于E、K、H，求证：E、H分别是点A在直线SB和SD上的射影.

图13