点线面的关系—教师版 下载本文

启智明德,优享未来!

已知平面α、β、γ两两相交于三条直线l1、l2、l3,且l1、l2、l3不平行. 求证:l1、l2、l3相交于一点.

证明:如图20,α∩β=l1,β∩γ=l2,α∩γ=l3,

图20

∵l1?β,l2?β,且l1、l2不平行,∴l1与l2必相交.设l1∩l2=P,则P∈l1?α,P∈l2?γ, ∴P∈α∩γ=l3.∴l1、l2、l3相交于一点P.

二、空间图形的位置关系

?共面:a?b=A,a//b1.空间直线的位置关系:?

?异面:a与b异面平行线的传递公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表述:

a//b,b//c?a//c

等角定理:如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补。 异面直线::不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线; 异面直线所成的角:(1)范围:??

例1 如图6,空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.

(2)作异面直线所成的角:平移法. ?0?,90??;

图6

求证:四边形EFGH是平行四边形.

证明:连接EH,因为EH是△ABD的中位线,所以EH∥BD,且EH=

1BD. 2同理,FG∥BD,且FG=

1BD. 2所以EH∥FG,且EH=FG.所以四边形EFGH为平行四边形. 练习:

1.如图6,空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点且AC=BD. 求证:四边形EFGH是菱形.

证明:连接EH,因为EH是△ABD的中位线,所以EH∥BD,且EH=

1BD. 2启智明德,优享未来!

同理,FG∥BD,EF∥AC,且FG=

11BD,EF=AC. 22所以EH∥FG,且EH=FG.所以四边形EFGH为平行四边形. 因为AC=BD,所以EF=EH. 所以四边形EFGH为菱形.

2.如图6,空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点且AC=BD,AC⊥BD. 求证:四边形EFGH是正方形.

证明:连接EH,因为EH是△ABD的中位线, 所以EH∥BD,且EH=

1BD. 211BD,EF=AC. 22同理,FG∥BD,EF∥AC,且FG=

所以EH∥FG,且EH=FG.所以四边形EFGH为平行四边形. 因为AC=BD,所以EF=EH.

因为FG∥BD,EF∥AC,所以∠FEH为两异面直线AC与BD所成的角.又因为AC⊥BD,所以EF⊥EH. 所以四边形EFGH为正方形.

例2 如图7,已知正方体ABCD—A′B′C′D′.

图7

(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线? (2)直线BA′和CC′的夹角是多少? (3)哪些棱所在直线与直线AA′垂直?

解:(1)由异面直线的定义可知,棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与BA′是异面直线. (2)由BB′∥CC′可知,∠B′BA′是异面直线BA′和CC′的夹角,∠B′BA′=45°,所以直线BA′和CC′的夹角为45°. (3)直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直. 练习:

如图8,已知正方体ABCD—A′B′C′D′.

图8

(1)求异面直线BC′与A′B′所成的角的度数;

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(2)求异面直线CD′和BC′所成的角的度数.

解:(1)由A′B′∥C′D′可知,∠BC′D′是异面直线BC′与A′B′所成的角, ∵BC′⊥C′D′,∴异面直线BC′与A′B′所成的角的度数为90°.

(2)连接AD′,AC,由AD′∥BC′可知,∠AD′C是异面直线CD′和BC′所成的角, ∵△AD′C是等边三角形.

∴∠AD′C=60°,即异面直线CD′和BC′所成的角的度数为60°.

例3 在长方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是棱AA1和棱CC1的中点. 求证:EB1∥DF,ED∥B1F.

证明:如图9,设G是DD1的中点,分别连接EG,GC1.

图9

∵EG∴EG∴EB1

A1D1,B1C1GC1.

GC1,∴EB1

DF.

A1D1,

B1C1.四边形EB1C1G是平行四边形,

同理可证DF∴ED∥B1F. 练习:

∴四边形EB1FD是平行四边形.

如图10,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是AA1、AB的中点,试判断下列各对线段所在直线的位置关系:

图10

(1)AB与CC1; (2)A1B1与DC; (3)A1C与D1B; (4)DC与BD1; (5)D1E与CF.

解:(1)∵C∈平面ABCD,AB?平面ABCD,又C?AB,C1?平面ABCD,∴AB与CC1异面. (2)∵A1B1∥AB,AB∥DC,∴A1B1∥DC.

(3)∵A1D1∥B1C1,B1C1∥BC,∴A1D1∥BC,则A1、B、C、D1在同一平面内. ∴A1C与D1B相交.

(4)∵B∈平面ABCD,DC?平面ABCD,又B?DC,D1?平面ABCD,∴DC与BD1异面. (5)如图10,CF与DA的延长线交于G,连接D1G, ∵AF∥DC,F为AB中点,∴A为DG的中点. 又AE∥DD1,

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∴GD1过AA1的中点E.∴直线D1E与CF相交.

例4 如图11,点A是BCD所在平面外一点,AD=BC,E、F分别是AB、CD的中点,且EF=成的角.

22AD,求异面直线AD和BC所

图11

解:设G是AC中点,连接EG、FG.

因E、F分别是AB、CD中点,故EG∥BC且EG=

1BC2,FG∥AD,且FG=

1AD.由异面直线所成角定义可知EG与FG所成锐角2或直角为异面直线AD、BC所成角,即∠EGF为所求. 由BC=AD知EG=GF= 练习:

1.设空间四边形ABCD,E、F、G、H分别是AC、BC、DB、DA的中点,若AB=12求AB和CD所成的角.

解:如图12,由三角形中位线的性质知,HG∥AB,HE∥CD,

12AD,又EF=22AD,由勾股定理可得∠EGF=90°.

2,CD=42,且HG·HE·sin∠EHG=123,

图12

∴∠EHG就是异面直线AB和CD所成的角. 由题意可知EFGH是平行四边形,HG=

11AB?62,HE=CD?23,∴HG·HE·sin∠EHG=12622sin∠EHG.∴126sin∠EHG=12

3.∴sin∠EHG=

22.故∠EHG=45°.∴AB和CD所成的角为45°.