启智明德，优享未来！

已知平面α、β、γ两两相交于三条直线l1、l2、l3，且l1、l2、l3不平行. 求证：l1、l2、l3相交于一点.

证明：如图20，α∩β=l1，β∩γ=l2，α∩γ=l3，

图20

∵l1?β，l2?β，且l1、l2不平行,∴l1与l2必相交.设l1∩l2=P，则P∈l1?α,P∈l2?γ, ∴P∈α∩γ=l3.∴l1、l2、l3相交于一点P.

二、空间图形的位置关系

?共面:a?b=A,a//b1.空间直线的位置关系：?

?异面:a与b异面平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表述：

a//b,b//c?a//c

等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。 异面直线：：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线； 异面直线所成的角：（1）范围：??

例1 如图6，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.

（2）作异面直线所成的角：平移法. ?0?,90??；

图6

求证：四边形EFGH是平行四边形.

证明：连接EH，因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，且EH=

1BD. 2同理，FG∥BD，且FG=

1BD. 2所以EH∥FG，且EH=FG.所以四边形EFGH为平行四边形. 练习：

1.如图6，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点且AC=BD. 求证：四边形EFGH是菱形.

证明：连接EH，因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，且EH=

1BD. 2启智明德，优享未来！

同理，FG∥BD，EF∥AC，且FG=

11BD,EF=AC. 22所以EH∥FG，且EH=FG.所以四边形EFGH为平行四边形. 因为AC=BD,所以EF=EH. 所以四边形EFGH为菱形.

2.如图6，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点且AC=BD，AC⊥BD. 求证：四边形EFGH是正方形.

证明：连接EH，因为EH是△ABD的中位线， 所以EH∥BD，且EH=

1BD. 211BD，EF=AC. 22同理，FG∥BD，EF∥AC，且FG=

所以EH∥FG，且EH=FG.所以四边形EFGH为平行四边形. 因为AC=BD，所以EF=EH.

因为FG∥BD，EF∥AC，所以∠FEH为两异面直线AC与BD所成的角.又因为AC⊥BD，所以EF⊥EH. 所以四边形EFGH为正方形.

例2 如图7，已知正方体ABCD—A′B′C′D′.

图7

(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？ (2)直线BA′和CC′的夹角是多少？ (3)哪些棱所在直线与直线AA′垂直？

解：(1)由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与BA′是异面直线. (2)由BB′∥CC′可知，∠B′BA′是异面直线BA′和CC′的夹角，∠B′BA′=45°，所以直线BA′和CC′的夹角为45°. （3）直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直. 练习：

如图8，已知正方体ABCD—A′B′C′D′.

图8

（1）求异面直线BC′与A′B′所成的角的度数；

启智明德，优享未来！

(2)求异面直线CD′和BC′所成的角的度数.

解：（1）由A′B′∥C′D′可知，∠BC′D′是异面直线BC′与A′B′所成的角， ∵BC′⊥C′D′，∴异面直线BC′与A′B′所成的角的度数为90°.

（2）连接AD′,AC,由AD′∥BC′可知，∠AD′C是异面直线CD′和BC′所成的角， ∵△AD′C是等边三角形.

∴∠AD′C=60°，即异面直线CD′和BC′所成的角的度数为60°.

例3 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和棱CC1的中点. 求证：EB1∥DF，ED∥B1F.

证明：如图9，设G是DD1的中点，分别连接EG，GC1.

图9

∵EG∴EG∴EB1

A1D1，B1C1GC1.

GC1，∴EB1

DF.

A1D1,

B1C1.四边形EB1C1G是平行四边形,

同理可证DF∴ED∥B1F. 练习：

∴四边形EB1FD是平行四边形.

如图10，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、AB的中点，试判断下列各对线段所在直线的位置关系：

图10

（1）AB与CC1； （2）A1B1与DC； （3）A1C与D1B； （4）DC与BD1； （5）D1E与CF.

解：（1）∵C∈平面ABCD，AB?平面ABCD，又C?AB，C1?平面ABCD,∴AB与CC1异面. （2）∵A1B1∥AB，AB∥DC，∴A1B1∥DC.

（3）∵A1D1∥B1C1，B1C1∥BC，∴A1D1∥BC，则A1、B、C、D1在同一平面内. ∴A1C与D1B相交.

（4）∵B∈平面ABCD，DC?平面ABCD，又B?DC，D1?平面ABCD,∴DC与BD1异面. （5）如图10，CF与DA的延长线交于G，连接D1G， ∵AF∥DC，F为AB中点，∴A为DG的中点. 又AE∥DD1，

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∴GD1过AA1的中点E.∴直线D1E与CF相交.

例4 如图11，点A是BCD所在平面外一点，AD=BC，E、F分别是AB、CD的中点，且EF=成的角.

22AD，求异面直线AD和BC所

图11

解：设G是AC中点，连接EG、FG.

因E、F分别是AB、CD中点，故EG∥BC且EG=

1BC2，FG∥AD，且FG=

1AD.由异面直线所成角定义可知EG与FG所成锐角2或直角为异面直线AD、BC所成角，即∠EGF为所求. 由BC=AD知EG=GF= 练习：

1.设空间四边形ABCD，E、F、G、H分别是AC、BC、DB、DA的中点，若AB=12求AB和CD所成的角.

解：如图12，由三角形中位线的性质知，HG∥AB，HE∥CD，

12AD，又EF=22AD,由勾股定理可得∠EGF=90°.

2，CD=42，且HG·HE·sin∠EHG=123，

图12

∴∠EHG就是异面直线AB和CD所成的角. 由题意可知EFGH是平行四边形，HG=

11AB?62，HE=CD?23，∴HG·HE·sin∠EHG=12622sin∠EHG.∴126sin∠EHG=12

3.∴sin∠EHG=

22.故∠EHG=45°.∴AB和CD所成的角为45°.