2. （2018?莱芜，第20题9分）如图，一堤坝的坡角∠ABC=62°，坡面长度AB=25米（图为横截面），为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB=50°，则此时应将坝底向外拓宽多少米？（结果保留到0.01米）
（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan50°≈1.20）
考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题．.
分析： 过A点作AE⊥CD于E．在Rt△ABE中，根据三角函数可得AE，BE，在Rt△ADE中，根据三角函数可得
DE，再根据DB=DC﹣BE即可求解．
解答： 解：过A点作AE⊥CD于E．
在Rt△ABE中，∠ABE=62°．
∴AE=AB?sin62°=25×0.88=22米， BE=AB?cos62°=25×0.47=11.75米， 在Rt△ADE中，∠ADB=50°，
∴DE=
=18米，
∴DB=DC﹣BE≈6.58米．
故此时应将坝底向外拓宽大约6.58米．
点评： 考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边的解决此
类题目的基本出发点．
3． （2018?青岛，第20题8分）如图，小明想测山高和索道的长度．他在B处仰望山顶A，测得仰角∠B=31°，再往山的方向（水平方向）前进80m至索道口C处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角∠ACE=39°． （1）求这座山的高度（小明的身高忽略不计）； （2）求索道AC的长（结果精确到0.1m）． （参考数据：tan31°≈，sin31°≈，tan39°≈
，sin39°≈
）
考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．.
分析： （1）过点A作AD⊥BE于D，设山AD的高度为xm，在Rt△ABD和Rt△ACD中分别表示出BD和CD的长
度，然后根据BD﹣CD=80m，列出方程，求出x的值；
（2）在Rt△ACD中，利用sin∠ACD=
解答： 解：（1）过点A作AD⊥BE于D，
设山AD的高度为xm，
，代入数值求出AC的长度．
在Rt△ABD中， ∵∠ADB=90°，tan31°=∴BD=
≈=x，
，
在Rt△ACD中， ∵∠ADC=90°，tan39°=∴CD=
≈
=
，
x，
∵BC=BD﹣CD， ∴x﹣
x=80，
解得：x=180．
即山的高度为180米；
（2）在Rt△ACD中，∠ADC=90°， sin39°=∴AC=
， =
≈282.9（m）．
答：索道AC长约为282.9米．
点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是利用仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识表示
出相关线段的长度．
4．（2018?山西，第21题7分）如图，点A、B、C表示某旅游景区三个缆车站的位置，线段AB、BC表示连接缆车站的钢缆，已知A、B、C三点在同一铅直平面内，它们的海拔高度AA′，BB′，CC′分别为110米、310米、710米，钢缆AB的坡度i1=1：2，钢缆BC的坡度i2=1：1，景区因改造缆车线路，需要从A到C直线架设一条钢缆，那么钢缆AC的长度是多少米？（注：坡度：是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）
考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题．. 专题： 应用题． 分析： 过点A作AE⊥CC'于点E，交BB'于点F，过点B作BD⊥CC'于点D，分别求出AE、CE，利用勾股定理求解AC即可． 解答： 解：过点A作AE⊥CC'于点E，交BB'于点F，过点B作BD⊥CC'于点D， 则△AFB、△BDC、△AEC都是直角三角形，四边形AA'B'F，BB'C'D和BFED都是矩形， ∴BF=BB'﹣B'F=BB'﹣AA'=310﹣110=200， CD=CC'﹣C'D=CC'﹣BB'=710﹣310=400， ∵i1=1：2，i2=1：1，
∴AF=2BF=400，BD=CD=400， 又∵EF=BD=400，DE=BF=200，
∴AE=AF+EF=800，CE=CD+DE=600， ∴在Rt△AEC中，AC===1000（米）．
答：钢缆AC的长度是1000米．
点评： 难度一般．
5. （2018?乐山，第21题10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，∠B=30°，CE⊥AB，垂足为点E．若AD=1，AB=2
，求CE的长．
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解坡度坡角的定义，及勾股定理的表达式，
考点： 直角梯形；矩形的判定与性质；解直角三角形．.
分析： 利用锐角三角函数关系得出BH的长，进而得出BC的长，即可得出CE的长． 解答： 解：过点A作AH⊥BC于H，则AD=HC=1，
在△ABH中，∠B=30°，AB=2∴cos30°=
，
×
=3，
，
即BH=ABcos30°=2∴BC=BH+BC=4， ∵CE⊥AB， ∴CE=BC=2．
点评： 此题主要考查了锐角三角函数关系应用以及直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半等知识，得出BH
的长是解题关键．
6. （2018?丽水，第22题10分）如图，已知等边△ABC，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连结GD． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）求FG的长；
（3）求tan∠FGD的值．
考点： 切线的判定；等边三角形的性质；解直角三角形．.
分析： （1）连结OD，根据等边三角形的性质得∠C=∠A=∠B=60°，而OD=OC，所以∠ODB=60°=∠C，于是可
判断OD∥AC，又DF⊥AC，则OD⊥DF，根据切线的判定定理可得DF是⊙O的切线；
（2）先证明OD为△ABC的中位线，得到BD=CD=6．在Rt△CDF中，由∠C=60°，得∠CDF=30°，根据
含30度的直角三角形三边的关系得CF=CD=3，所以AF=AC﹣CF=9，然后在Rt△AFG中，根据正弦的定义计算FG的长；
（3）过D作DH⊥AB于H，由垂直于同一直线的两条直线互相平行得出FG∥DH，根据平行线的性质可得∠FGD=∠GDH．解Rt△BDH，得BH=BD=3，DH=BH=3．解Rt△AFG，得AG=AF=，则GH=AB﹣AG﹣BH=，于是根据正切函数的定义得到tan∠GDH=
解答： （1）证明：连结OD，如图，
∵△ABC为等边三角形， ∴∠C=∠A=∠B=60°， 而OD=OB，
∴△ODB是等边三角形，∠ODB=60°， ∴∠ODB=∠C， ∴OD∥AC， ∵DF⊥AC， ∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：∵OD∥AC，点O为AB的中点， ∴OD为△ABC的中位线， ∴BD=CD=6．
在Rt△CDF中，∠C=60°， ∴∠CDF=30°， ∴CF=CD=3，
∴AF=AC﹣CF=12﹣3=9，
在Rt△AFG中，∵∠A=60°，
∴FG=AF×sinA=9×
=
；
=
，则tan∠FGD可求．
（3）解：过D作DH⊥AB于H． ∵FG⊥AB，DH⊥AB， ∴FG∥DH，
∴∠FGD=∠GDH．
在Rt△BDH中，∠B=60°， ∴∠BDH=30°，
∴BH=BD=3，DH=BH=3． 在Rt△AFG中，∵∠AFG=30°， ∴AG=AF=，
∵GH=AB﹣AG﹣BH=12﹣﹣3=， ∴tan∠GDH=
=
=
， ．
∴tan∠FGD=tan∠GDH=