解直角三角形

一、 选择题

1. （2018?湖南衡阳,第10题3分）如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，则坝底AD的长度为（ ）

A． 26米 B． 28米 C． 30米 D． 46米

考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题．. 分析： 先根据坡比求得AE的长，已知CB=10m，即可求得AD． 解答： 解：∵坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5， ∴AE=1.5BE=18米， ∵BC=10米，

∴AD=2AE+BC=2×18+10=46米， 故选D．

点评： 此题考查了解直角三角形的应用中的坡度坡角的问题及等腰梯形的性质的掌握情况，将相关的知识点相结合更利于解题．

2. （2018?丽水，第5题3分）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC=3m，则坡面AB的长度是（ ）

A． 9m B． 6m C． D． m m

考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题．.

分析： 在Rt△ABC中，已知了坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长． 解答： 解：在Rt△ABC中，BC=5米，tanA=1：；

∴AC=BC÷tanA=3米， ∴AB==6米． 故选B．

点评： 此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键． 3．（2018?四川绵阳,第8题3分）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（ ）

A． 40

海里

B． 40海里 C． 80海里 D． 40海里

考点：解 直角三角形的应用-方向角问题． 分析：根 据题意画出图形，进而得出PA，PC的长，即可得出答案． 解答：解 ：过点P作PC⊥AB于点C，

由题意可得出：∠A=30°，∠B=45°，AP=80海里， 故CP=AP=40（海里），

则PB=故选：A．

=40

（海里）．

点评：此 题主要考查了方向角问题以及锐角三角函数关系等知识，得出各角度数是解题关

键． 4．

二、填空题

1. （2018?黑龙江龙东,第8题3分）△ABC中，AB=4，BC=3，∠BAC=30°，则△ABC的面积为 2+或2﹣（答对1个给2分，多答或含有错误答案不得分） ． 考点： 解直角三角形．. 专题： 分类讨论．

分析： 分两种情况：过点B或C作AC或AB上的高，由勾股定理可得出三角形的底和高，再求面积即可． 解答： 解：当∠B为钝角时，如图1， 过点B作BD⊥AC， ∵∠BAC=30°， ∴BD=AB， ∵AB=4， ∴BD=2， ∴AD=2， ∵BC=3， ∴CD=，

∴S△ABC=AC?BD=×（2+）×2=2+； 当∠C为钝角时，如图2，

过点B作BD⊥AC，交AC延长线于点D， ∵∠BAC=30°， ∴BD=AB， ∵AB=4， ∴BD=2， ∵BC=3， ∴CD=， ∴AD=2，

∴AC=2﹣，

∴S△ABC=AC?BD=×（2﹣）×2=2﹣．

点评： 本题考查了解直角三角形，还涉及到的知识点有勾股定理、直角三角形的性质，30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半．

2. （2018?浙江绍兴,第14题5分）用直尺和圆规作△ABC，使BC=a，AC=b，∠B=35°，若这样的三角形只能作一个，则a，b间满足的关系式是 sin35°=或b≥a ．

考点：作 图—复杂作图；切线的性质；解直角三角形 分析：首 先画BC=a，再以B为顶点，作∠ABC=35°，然后再以点C为圆心b为半径交AB于

点A，然后连接AC即可，①当AC⊥BC时，②当b≥a时三角形只能作一个． 解答：解 ：如图所示：

若这样的三角形只能作一个，则a，b间满足的关系式是：①当AC⊥BC时，即sin35°=②当b≥a时．

故答案为：sin35°=或b≥a． 点评：此 题主要考查了复杂作图，关键是掌握作一角等于已知角的方法． 3．（2018?江西，第13题3分）如图，是将菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后形成的图形。若?BAD?60，AB=2，则图中阴影部分的面积为______.

o

【答案】 12－43.

【考点】 菱形的性质，勾股定理，旋转的性质．

【分析】 连接AC、BD，AO、BO，AC与BD交于点E，求出菱形对角线AC长，根据旋转的性质可知AO⊥CO。在AC2(23)2Rt△AOC中，根据勾股定理求出AO=CO=??6，从而求出Rt△AOC的面积，再减去△ACD的面积得阴22影部分AOCD面积，一共有四个这样的面积，乘以4即得解。 【解答】 解：连接BD、AC，相交于点E，连接AO、CO。 ∵因为四边形ABCD是菱形， ∴AC ⊥BD，AB＝AD＝2。 ∵∠BAD＝60°， ∴△ABD是等边三角形，BD＝AB＝2， ∴∠BAE＝111∠BAD＝30°，AE＝AC，BE=DE=BD=1， 222AB2?BE2?22?12?3， 在Rt△ABE中，AE＝∴AC＝23。 ∵菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向旋转90°，180°，270°， ∴∠AOC＝1×360°＝90°，即AO⊥CO，AO＝CO 422在Rt△AOC中，AO=CO=AC?(23)?6。 22∵S△AOC=1111AO·CO=×6×6=3，S△ADC=AC·DE＝×23×1＝3, 2222∴S阴影＝S△AOC －S△ADC=4×（3－3）＝12－43 所以图中阴影部分的面积为12－43。 4．

三、解答题

1. （2018?海南,第22题9分）如图，一艘核潜艇在海面DF下600米A点处测得俯角为30°正前方的海底C点处有黑匣子，继续在同一深度直线航行1464米到B点处测得正前方C点处的俯角为45°．求海底C点处距离海面DF的深度（结果精确到个位，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）

考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．.

分析： 首先作CE⊥AB于E，依题意，AB=1000，∠EAC=30°，∠CBE=45°，设CD=x，则BE=x，进而利用正切函

数的定义求出x即可．

解答： 解：作CE⊥AB于E，

依题意，AB=1464，∠EAC=30°，∠CBE=45°， 设CE=x，则BE=x，

Rt△ACE中，tan30°=

=

=

，

整理得出：3x=1464+x， 解得：x=732（）≈2000米， ∴C点深度=x+600=2600米．

答：海底C点处距离海面DF的深度约为2600米．

点评： 此题主要考查了俯角的定义及其解直角三角形的应用，解题时首先正确理解俯角的定义，然后利用三角

函数和已知条件构造方程解决问题．