即：
?d(??) ????v?G(x,y,x)?dt(1-5-7)
和前面的方程对比，这里考虑了有源汇存在的情形。
1-6能量守恒方程
自然界中无论什么运动，能量总是守恒的。能量守恒方程是能量守恒律的数学表达，流体在运动过程中总能量的变化率等于单位时间外力做功与热量变化之和。在组分给定情况下，流体状态方程形式为ρ=ρ(P,T)，仅有连续性方程、状态方程和动量定理不能使流体运动控制方程组封闭，需要应用能量守恒律，这时我们必须考虑各种形式的能量及其相互转换（做功、发热及获得势能等）。在渗流力学中，当系统温度发生明显变化时会诱发Joule-Thompson效应，这时必须应用能量守恒律。
能量守恒律守恒定律的文字表示为：
流入单元体能量 - 流出单元体能量 + 能量汇源项 = 单元体能量增量 数学表示式为：
N??j?1?????jvjHj???????T??q+
导热
h?qhL??N??????jsjU?t?j?1o
j???1?????c??Tr??Ti??
?流体流动引起能量变化
- 汇源 - 边界热损失=单元体内流体能量变化 +
单元体内岩石能量变化
式中，N = 组分数，Hj = 焓（kJ/kg），λ= 导热系数（kJ/h/C/m），qh =汇源项 qhL = 边界热损失，Uj = 流体内能（kJ/kg），(ρc)r = 岩石热容量（kJ/m3/oC）。
由于我们通常假定系统存在恒温条件，自动满足能量守恒定律，状态方程具有ρ=ρ(P)型的简化形式，不涉及能量守恒方程便可以求解控制方程组。
参考文献
1.Ahmed N. & Sunada D. K.: “Non-linear Flow in Porous Media,” J. of Hydraulics Division, ASCE., 95, 1847 (1969).
2. Bear J.: Dynamics of Fluids in Porous Media, American Elseviser Publishing Co., Inc. (1972).
3 Geertsma J.: “Estimation the Coefficent of Inertial Resistance in Fluid Flow through Porous Media,” SPEJ (Oct. 1974) 445-450.
4. Klinkenberg L. J.: “The Permeability of Porous Media to Liquid and Gases,” API Drilling and Production Practice, 1941, 200-213.
5. Hall H. N.: “Compressibility of Reservoir Rocks,” Trans., AIME 198 309-316 (1953).
6. Scheidegger A. E.: “The Physics of Flow Through Porous Media,” University of Toronto Press, 1956. 7. 吴望一，“流体力学”，北京大学出版社，1982。 8. 孔祥言，“高等渗流力学”，中国科技大学出版社，1999。
附录
Henry Darcy与Darcy定律
——Henry Darcy小传
Henry Darcy（1803-1858）出生于1803年06月10日法国巴黎东南部Burgundy地区Cote d’Or行政区的Dijon城，因肺炎卒于1858年01月02日。他的法文全名为Henri Philibert Gaspard Darcy，教名为Henri，教名英译音为Henry。他14岁丧父，由修养良好的母亲抚育成人。Darcy早年先后就读于Dijon大学的工艺学院（Polytechnic School，1821-1823）和桥梁与公路学院（Bridges and Highways School，1823-1826），毕业后即被派往Dijon城东南的Jura区任工程师，不久应Cote d’Or区行政长官的直接邀请回到Dijon城负责工程工作。1828年他与一位家住Dijon城、名字叫Henriette Carey的英国姑娘结婚。
Dijon城是一个水源贫乏的城市。或者因为资金短缺或者由于计划不完善，城市缺水问题400余年悬而未决。1835年3月，经过周密设计，Darcy提交了以引入城外约7英里远的一处古泉水入城为目标的引水工程项目方案。1839年3月引水工程启动并由Darcy负责实施，1840年9月竣工。这年5月，代理Cote d’Or区主任工程师一年后的Darcy被正式任命
Henry Darcy 1821
为该区的主任工程师。两年后，无私的H. Darcy拒绝接受Dijon城市政委员会的5万法郎奖金。后来由于Cote d’Or区行政长官和法国内政部长的推荐，他获得了国家荣誉勋章。1842年底，由于过度劳累，Darcy的身体健康状况开始变坏。
Darcy非常热心于家乡的公共事业。在他的努力下，原本绕经Dijon、由Paris到Lyon的铁路改线直接经过Dijon，由此他再次赢得了家乡人民的爱戴。然而，由于无心于政坛，当1848年法国二月革命到来之际他被迫辞职，离开了为之工作三十多年的故乡，前往Paris。其后不久，由于形势需要，他再次被委任为Paris市公路和供水事业部主任兼工程师，于是热衷学术的Darcy又继续开展水的管流运动和供水分布等方面的研究，并在Chaillot学院开始了大量的实验工作，其研究结果修正和拓展了当时的水力学理论，由此声誉鹊起，蜚声海外，他应邀去Brussels接受比利时的Leopold勋章。
1850年4月，他被派往英国学习关于用碎石铺街的知识，回国后又被任命为Paris市政基础投资督察员。这一年，Darcy出版了名为“The Public Fountains of Dijon”的著作。该书不只是描述了Dijon城的供水分布系统，同时还涉及到了寻找水源、净化水、供水管线甚至水位变化和供水能力的研究，可谓是一篇关于水分布的综合性的论文（A Treatise on Distribution of Water）。著名的Darcy定律其实是源于书中关于过滤净化水的一章（P590-594），事实上这一章的内容并非属于Dijon城供水工程项目的涉及范围，而是由于一些科学家和工程师（主要是英国的）的质疑引发了Darcy的才智以及对于填砂过滤方法的好奇，由此独自完成了一项影响深远的研究工作。
1855年11月，由于身体原因Darcy不得不放弃在Paris市政的职位，退休回家。在此后的三年中，Darcy常常是在高烧中艰难地继续着自己的研究，他希望能够全面完成自己的研究计划。1858年1月2日，年仅55岁的Darcy因病辞世。在他死后，他的学生J. Dupuit、Bazin等继续着他的未竟事业。Dupuit还在1865年开拓性地给出了平面径向稳态渗流的流量公式——Dupuit公式，自二十世纪三十年代以来，该公式一直为矿场工程师们所用。
1952年，为纪念Darcy，石油工程师协会将渗透率的矿场单位定义为“Darcy”（API R. P. No. 27, 3 Ed., Sept., 1952）。
Henry Darcy是一位杰出的工程师，他造福于人类，他将自己的一生无私地奉献给了科学和有益的公共事业。朋友和同事曾这样总结他的一生：“Lover of science，devote to the public good, and absolutely devoid of self-interest.”(科学的热爱者，献身于有益的公共事业，绝对摈弃自私自利)。
选自 George Fancher: “Henry Darcy-Engineer and Benefactor of Mankind,” SPE 762-G, 1956.
rd