?dP?q?C??gsin?

?dL???n△P/△L 在Re > 100的情形下，流动变为湍流，它实际上是一种混沌现象。

根据Ahmed & Sunada（1969）用多种非固结多孔介质的研究表明，在较高速度下有以下关系式：

dP??n???gsin????v???v? (1-4-20) dL?K?v 图1-9 高速渗流

其中β为非达西流因子，n与多孔介质特性有关。

低速下限：对于非牛顿Bingham流体，渗流定律可以写为：

?K?dP??????????dx?v???0??,,dPdxdPdx??v (1-4-21)

??△P/△L 图1-10 低速渗流

密度下限：在渗流过程中，低压气体将产生Klinkenberg（1941）效应和分子扩散，渗透率将是压力的函数：

Kg1?bP1PKL??Kg?m

K

(1-4-22) H2 N2 CO2此时Darcy定律不能原样套用。

1-5连续性方程

连续性方程是质量守恒定律的数学表达式，流体运动必须遵守这一规律。连续性方程的具体形式取决于描述流体运动的方法。

KL 图1-11 滑脱效应

1/Pavg

1.5.1描述流体运动的方法

瑞士数学家L. Euler（1707-1783）大约在二百多年前提出了两种描述流体运动的方法，其一是跟踪质点方法——给出渗流系统中每一个确定流体质点的特征参数随时间的变化，通过研究各个流体质点的运动来获得整个流体的运动规律，这要确定各个质点的迹线；其二是场方法——给出每一瞬时占据渗流系统中每一确定空间点的流体质点的特征参数（不管这些质点从哪里来和到哪里去），这些参数是空间点的坐标和时间的函数，这要用到流线。大约过了四分之一世纪后，法国数学家J. L. Lagrange（1736-1813）对这两种方法作了改进。现在一般称前一种方法为Lagrange方法，后一种方法为Euler方法。

要采用跟踪质点的方法，首先得识别各个质点，象对待运动员那样，编上不同的号码，在实际处理时，Lagrange建议（Lagrange—《分析力学》，1781）采用某一指定时刻t=t0时每一个液体质点在空间的位置（x=a, y=b, z=c）作为识别不同质点的号码，（a, b, c）通常叫做Lagrange变量。用Lagrange方法表达液体运动时，要求把任意一个质点（a, b, c）随时间t的改变、它在空间所处的位置表达出来，即确定下面三个函数：

x?f1(a,b,c;t)y?f2(a,b,c;t)z?f3(a,b,c;t)?????r?f(a,b,c;t)——质点轨迹方程

只要上举三个函数已知，就确定了每一个质点的运动，整个液体的运动也就确定了，流体支点的运动速度和加速度则可以通过求一阶偏导数和二阶偏导数得到。

采用场方法要求把渗流系统中的每一个点处液体运动情况表达出来，即把液体质点通过空间各点处时的情况给以说明。为此，选用一个空间坐标系（x, y, x）把空间各点位置予以确定。坐标（x, y, z）通常叫做Euler变量。显然某一指定时刻t不同空间点处有不同的流体质点通过，它们的流速未必相同；同一点处（x, y, z）在不同时刻t流过的液体质点也不是相同的，因而流速也会不同。用Euler方法表达液体的运动要求把流速u表为坐标（x, y, x）的函数：

ux?ux(x,y,z;t)????? uy?uy(x,y,z;t)uz?uz(x,y,z;t)u?u(x,y,z;t)—质点轨迹方程组（求解后得迹线方程）

只要上举三个函数已知，液体质点在任意时刻t流经空间任意点（x, y, x）的流速也就已知了，整个液体的运动也就确定。

显然，Euler方法和Lagrange方法的着眼点不同。Lagrange方法采用动坐标，注意的是每一流体质点的运动历史，而Euler方法采用定坐标，注意的是液体运动时每一空间点处情况的变化和差别。Euler方法是我们习惯的方法，如站在河岸上观察流水，我们注意的不是某些水滴的来龙去脉，而是从水面到水底、从河心到岸边水流的是急是缓、水位是涨时落等。

Euler方法和Lagrange方法事实上是完全等效的，在理论上，两种方法可以转换，实际进行中常常会遇到数学上的困难。在渗流力学中，多数情况下采用Euler方法，如运动方程中的质量、动量和能量输运的项总是用瞬时空间导数来表示。在某些特殊情况下，例如研究二相驱替界面推进过程，用Lagrange方法更为有效，因为这种界面始终是由一组固定的质点所组成的物质面。

渗流环境 渗流系统 控制体元 图1-12 控制体元 1.5.1直角坐标系连续性方程

本节阐述Euler连续性方程，它是Euler在1755年建立的。按Euler方法，我们首先着眼于控制体元——固定在空间上的一个确定的、形状任意的封闭体积，位置保持不变。控制体元可以非常小，如小到前文所述的特征体元，或者有限的大，这要根据研究问题所确定。控制体的形状不会影响所得到的方程。对于取定的控制体元，质量守恒定律为：流入与流出控制体元的流体质量之差等于该体元内流体

vx??vxdx?x2z M(vx, ρ) vx????vxdx?x??dx?x2 2????dx?x2 y dx dz dy x 图1-12 直角坐标控制体元 质量的增量。

在水平、均匀介质中，取一个长方体为控

制体元，边长分别为dx、dy、dz，中心点处M的坐标为（x, y, z），密度为ρ，流速的投影

为vx、vy、vz。在dt时间段内，流入与流出此控制体元的流体质量差，应该等于该体元在dt时间内液体质量的增量。沿x方向流入与流出的流体质量差：

win?wout?qm

在dt时段内流体流入、流出单元体质量：

?vxdx???dx???win???????dydzdt ??vx??x2?x2?????vxdx???dx???wout?????v???dydzdt ??x?x2???x2??在dt时段内单元体内流体增量为：

?(??)??(??)?qm????dt?dxdydz?????dxdydz?dt?dxdydz ???t?t??联立以上各式可以得到一维渗流连续性方程： ???vx????????

?x?t(1-5-1)

若考虑三维流动，结果必然有：

????vx????vy????vz??????????? ???x?y?z?t??(1-5-2)

上述方程的左边是流体单位体积扩张速度，即流速散度，而称ρv为质量速度，它是单位时

间通过单位面积的质量。

1.5.2柱坐标系连续性方程

在建立渗流力学数学模型时，根据渗流系统的特点选用不同的坐标系可以更方便地解决问题。特别是如果流体渗流只在一个方向上占优势，选择柱坐标系或直角坐标系有可能导致数学上的重大简化。

柱坐标和直角坐标关系如下：

x?rcos?，y?rsin?，z?z

Δz 在柱坐标系（r,θ, z）中，取一个小单元体，依质量守恒定律：

?z????r??v?r??r??r???v?r??r???z??r???v?????v?????Δθ r r+Δr ????v??t图1-14 柱坐标系控制体元

?r????r???v?z???v?z??z???z?r????r整理并取极限：

1r??r??r???v?r??r?r?r??v?r??1r???v????????v??????v?z??z????v?z????z?????v??t

1??(r?vr)?1?(?v?)?(?vz)?(??) ??????r??r?z?t?r??(1-5-3)

上式是柱坐标连续性方程的通式，有些情形是可以简化的。

轴对称流动：以某个轴为母线，如果流体质点在通过母线做出的各个平面上有相同的流动，称流体的流动为轴对称流动。对于轴对称渗流情形：

1??r?v??(?vz)????? (1-5-4) ???Z r?r?z?t根据轴对称条件，这一关系式亦可以利用坐标变换得到。

许多经典的不稳定渗流问题具有轴对称性，利用轴对称性能够简化模型而且方便求解。

O r θ Y y x 图1-13 球坐标系

1.5.3球坐标系连续性方程

类似于柱坐标系的做法，在球坐标系（r , θ, φ）中，可以导出球坐标连续性方程的通式：

X φ 2?(?v?)?(??)?(?v?sin?)1??(r?vr)?11??? ?2?r??r??rsin????t?rsin?(1-5-5)

式中：x?rsin?cos?，y?rsin?sin?，z?rcos? 对于均匀介质，球坐标连续性方程通式有时可以简化为：

21??(r?vr)??(??) ??2?r??r?t?(1-5-6)

1.5.4积分方法-连续性方程通式：

在渗流系统内考虑任一体积Σ，它的边界记为σ，用G(x, y, z, t) 汇源强度（单位时间内单位体积中流体质量的增量），这样，在t到t+Δt时段内 流进Σ的流体质量：

?t?dm??t??dq???n

????????t??vcos(v,n)dA???t??(v,n)dA???A 在Σ中的流体生成质量为：

z ?t???G(x,y,x)dxdyd

?在Σ内质量的增加量为：

图1-15 渗流系统内任意封闭体积 ???(??)dxdydz?????(??)dxdydz

?t??tt由质量守恒知：流入量+生成量 = 增加量,带入上述三式，并令Δt→ 0得： ????(v,n)dA??????G(x,y,x)dxdydz??ddt???(??)dxdyd z?由奥高公式得： ??(???v)dxdydz????????G(x,y,x)dxdydz??ddt???(??)dxdyd z?