方向称为渗透率张量的主轴方向，Darcy定律有所简化，即
kxxK?000kyy000，vm??kzzkmm?P??x，m?x,y,z (1-4-10)
方向渗透率-1：在平面各向异性介质中考虑任意一根流线s，其上某一点处切线方向为n，与横轴成夹角θ，渗流速度v与切线方向平行，沿流线有：
vs?v?n????ks?P??sks??P?x?P?y?ks??P??P???cos??sin????????????x?s?y?s????x?y?
而vs在横、纵轴上的分量为： vx??kxx?P?vscos?，vy??kyy?P?vssin?
??x??y联立以上两式，得到：
1ks??cos?kxx2?sin?kyy2 (1-4-10)
如果变形上式，根据直角坐标与极坐标间的关系，可以得到：
r2ks???rcos??2kxx??rsin??2kyy?x2kxx?y2kyy
?
?
y kxx ks kxx x 由此可见，任意方向渗透率在一个轴长分别为(kxx)和(kyy)的椭圆内。若对平面径向渗流的渗透率取面积积分平均，利用
积分公式：
2??a0dx2?bcosx22?2?aa?b22
图1-6 任意方向渗透率
可得：
?kavg2?cos2?1cos??????2?0?kxxkxx2??????1d??kxxkyy
(1-4-11)
类似地，在三维各向异性介质中有下列关系式存在：
1ks??cos?kxx2?cos?kyy2?cos?kzz2??，kavg3kxxkyykzz
其中，α、β、γ为渗流方向与各坐标轴的夹角，任意方向渗透率在一个椭球内。特殊情况下，在三维各向异性介质中，当平面上渗透率相差不大时，上式有如下简化：
1kr??cos?kv2?sin?kh2 (1-4-12)
发生球形渗流时，平均渗透率可以写为：
?vg? ka2??re?rw22?3??re???k00rwr2?3khkvkh?2kv (1-4-13)
sin??drd?d?r显然，渗透率的平均方法取决于所发生的渗流方式。
方向渗透率-2：在平面各向异性介质中考虑任意一根流线s，其上某一点处切线方向为n，与横轴成夹角θ，渗流速度v与切线方向平行，沿流线有：
vs?v?n????kxx?Pks?P?vxnx?vyny??kyy?Psin?2kxx?P??s2??xcos??kyy?P??ysin?
??scos????s结果有：
ks???kxxcos??kyysin?
12?2?22???kavg??k0xxcos??kyysin???d??22kxx?kyy2 (1-4-13)
类似地，在三维空间中：
222??? ks?kxxcos??kxxcos??kxxcos?，kavgkxx?kyy?kzz3 (1-4-14)
在多数情况下，这两种方向渗透率的差别微不足道（Scheidegger，1956）。
1.4.3 毛管渗流定律
根据流体力学理论，考虑圆管中的层流运动能够给出Darcy定律的另一种解释。
单根毛管情形：取圆柱形小体元，在层流运动时其作用力在流轴方向投影为零： 作用在体元上的压力：
FP?(P1?P2)A?(P1?P2)?r
2液体重力在流轴上的分量：
FG??g?ALsin?
y L l r0 r Q 摩擦阻力（切应力总和）：
FS?2?rL?
受力平衡：
FP?FG?FS
θ 图1-7 圆管层流
x ?r[P1?P2??gLsin?]?2?rL?
r[P1?P2??gLsin?]2L2??
牛顿内摩擦定律：
????dudr
速度分布：
u??P1?P24?L22（r?r0,(r0?r)，
u?0）
总流量和平均流速：
r0Q?2??urdr???0P1?P28?Lr0，V?4Q?r02??P1?P28?Lr0
2渗流速度由D-F关系式得到：
V??V
有效渗透率：
k??r082 (1-4-15)
多根不等径毛管情形：类似于单根毛管的做法，对多根毛管求累加和： 总流量：
r0Q?2??urdr???0P1?P28?L?i4r0i
4平均流速：
QP1?P28?L?ri0i2V???ri20i???ir0i
有效渗透率：
k??8?rii40i20i?r (1-4-16)
在某些室内驱替实验中，可以用多根不等径毛管模型作机理性地分析。
1.4.4 非线性渗流定律
经典Darcy定律的应用是有条件的，它要求流体和岩石之间不发生任何物理化学反应，介质中只存在一种流体，否则渗透率降低，还有一些关于速度和流体密度的限制。
Re判断准则：早在1880年，Renolds O.曾用不同的圆管做水流流态实验，3年以后，他明确指出，管中水流有层流和湍流两种流态，可以用如下定义的Renolds数来判别：
Re??vd? (1-4-17)
其中，μ是流体动力粘度（cP），d是圆管直径（cm），v是流体质点平均流速（cm/s）。
对于渗流运动，二十世纪二十年代Πавловский（巴甫洛夫斯基）首先提出用雷诺数作为Darcy定律应用判断准则。由单根毛管渗流定律和D-F关系式可知：
d?2r0?42k?，v?V?
代入得：
Re??Vk32，429800?117.50 (1-4-18)
17.50??式中，V是平均渗流速度（cm/s），k是渗透率（D），μ是动力粘度（cP），ρ是流体密度（g/cm3），
? 是孔隙度（F.）。
利用实验结果，将Fanning摩擦系数（f）对Renolds数（Re）作图，其中f定义为： Fanning：f???P???gsin??? 22??v??z?2?d整个曲线大致分为三段，第一段Re < 5左右是斜率为-1的直线段，第二段约在范围5 < Re < 100左右有一个二次曲线过渡段，第三段是一个水平线段。
Log( f ) Bakhmeteff & Feodorff Burke & Plummer Mavis & Wisley Rose Sunders & Ford f =1000/Re 图1-8 Re~f关系图
Log(Re)
第一段：在双对数坐标中有
ln(f)?ln(C)-ln(Re)?f?C/Re
?d/2C??P?v???gsin?? ????z?由此得出结论，在Re < 5（一般认为是1~10）的范围内Darcy定律是适用的。第二段：过
渡区范围内粘性力仍起主要作用（但逐渐减弱至惯性力起主要作用），流动仍然是层流，其后逐渐为湍流。运动方程为：
dP??2???gsin????v?Cv? dL?K?2(1-4-19)
这一结果与1901年Forchheimer提出的二项式一致（Geertsma，1974）。