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2015年普通高等学校招生全国统一考试

文 科 数 学

注意事项：

1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。

2．回答第I卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合A?{x|?1?x?2}，B?{x|0?x?3}，则AA．(?1,3) 2．若a为实数，且

A．-4

B．(?1,0)

B?

D．(2,3)

C．(0,2)

2?ai?3?i，则a = 1?iB．-3

C．3

D．4

3．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论不正确的是

2700 2600 2400 A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著2500 B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效

2300 C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 2200 D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 4．向量a?(1,?1)，b?(?1,2)，则(2a?b)?a?

A．-1

B．0

2100 2000 1900 2004年 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年 2010年

C．1 D．3

5．设Sn等差数列{an}的前n项和。若a1 + a3 + a5 = 3，则S5 =

A．5

B．7

C．9

D．11

图，则截去部

6．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右分体积与剩余部分体积的比值为

1A．

8C．

B．

1 71 61D．

57．已知三点A(1,0)，B(0,3)，C(2,3)，则ΔABC外接圆的圆心到原点的距离为

5A．

3B．

21 3C．25 3D．

4 3开 始 8．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a =

A．0 C．4

B．2 D．14

是 a > b 是 否 输入a，b a ≠ b 否 19．已知等比数列{an}满足a1?，a3a5 = 4(a4?1)，则a2 =

4A．2 C．

B．1

输出a 结 束 a = a - b b = b - a 1 21D．

810．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB = 90°，C为该球面上的动点。若三棱锥O—ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为

A．36π C．144π

B．64π D．256π

x A O B

D P C 11．如图，长方形ABCD的边AB = 2，BC = 1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠AOB = x。将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y?f(x)的图象大致为

y A 2 12．设函数f(x)?ln(1?|x|)? y B 2 y C 2 y D 2 1，则使得f(x)?f(2x?1)成立的x的取值范围是 1?x21??3?? B．(??,)??3?? x (1,?? ) x 3 42442411D．(??,?)(,??)

33第II卷（非选择题，共90分）

1??3?? x A．(,1)

342411C．(?,)

33??3?? x 424本卷包括必考题和选考题两部分。第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．已知函数f(x)?ax3?2x的图象过点(?1,4)，则a = _________。

?x?y?5?0?14．若x，y满足约束条件?2x?y?1?0，则z?2x?y的最大值为__________。

?x?2y?1?0?115．已知双曲线过点(4,3)，且渐近线方程为y??x，则该双曲线的标准方程为__________。

216．已知曲线y?x?lnx在点(1,1)处的切线与曲线y?ax2?(a?2)x?1相切，则a = __________。 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分12分）

ΔABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，ΔABD面积是ΔADC面积的2倍。 （1）求

sin?B；

sin?C2，求BD和AC的长。 2（2）若AD = 1，DC?18．（本小题满分12分）

某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表。

A地区用户满意度评分的频率分布直方图

频率/组距 0.040 B地区用户满意度评分的频数分布表 满意度评分分组 频 数 [50,60) [60,70) 2 8 0.035 [70,80) 0.030 14 0.025 [80,90) [90,100] 10 6 0.020 （1）在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分0.015 的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）； 0.010 0.005 50

60

70

80

90

O B地区用户满意度评分的频率分布直方图 40

频率/组距 0.040 （2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 满意度等级 低于70分 不满意 0.035 70分到89分 0.030 满意 0.025 不低于90分 非常满意 1

0.020 估计哪个地区的满意度等级为不满意的概率大？说明理由 0.015

0.010 0.005 O 50

60

70

80

90

100 满意

19．（本小题满分12分）

如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E = D1F = 4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。

（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值。 20．（本小题满分12分）

2x2y2已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的离心率为，点(2,2)在C上。

2abD1 F C1

A1

E D

B1

C

A B

（1）求C的方程；

（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M。证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值。 21．（本小题满分12分）

已知函数f(x)?lnx?a(1?x)。 （1）讨论f(x)的单调性；

（2）当f(x)有最大值，且最大值大于2a - 2时，求a的取值范围。

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号 22．（本小题满分10分）

选修4 - 1：几何证明选讲

如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与ΔABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点。

（1）证明：EF∥BC；

（2）若AG等于⊙O的半径，且AE?MN?23，求四边形EBCF的面积。

23．（本小题满分10分）

选修4 - 4：坐标系与参数方程

B M E

O D

N

C

G

F

A