第一节 直线与方程

1．直线的倾斜角

xx轴所在的直线绕着(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，把l当直线交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角． x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.与

l倾斜角的取值范围是[0，π)(2)范围：直线．

2．斜率公式

π????kl≠α＝tan_α. (1)直线，则斜率的倾斜角为α ??2 yy－klxxxPyPxyl. ≠的斜率(2))(，在直线)，，则(上，且，＝xx－ 3．直线方程的五种形式 12

21212211

12

名称 点斜式 斜截式 两点式 方程 yykxx )(－－＝ykxb ＋＝yyxx－－ ＝yyxx－－00111221 适用范围 xx不含直线＝ x不含垂直于轴的直线 yxxxx＝) 不含直线＝和直线(≠yyy) 0211(≠ 211 截距式＝， yx 1＝＋ba 22 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 平面内所有直线都适用 一般式

[小题体验] CByABAx＝0， ＋≠0＋＋ MmNm,m的值为________．1)，，则( 4)1．若过点，(－2的直线的斜率等于答案：1 aaxmym＝0过点(－2,1)，则此直线的斜率为________2．已知．≠0，直线 ＋－5答案：2 ABCBC边上中线所在的直线(0,2)，－3)，3．已知三角形的三个顶点，则(－5,0)，(3方程为

________．

13????BCBCABC，－边边上的中线过点，则的中点坐标为，且直线解析：由已知，得

??223111??x??xyBCky－＋，即＝－上中线的斜率＝－，故边上的中线所在直线方程为＋13＋ ??213213． 0.

5＝yx0

＝＋答案：＋135axyalaxy________. 轴和＝＝0：在＋2－－轴上的截距相等，则实数4．已知直线2xyalxly.；令＝0，2＋得直线1在解析：令＋＝0，则在轴上的截距为轴的截距为a2aaa＝－2.

＝1＝1＋，解得或依题意2＋a答案：1或－2

xxy，轴的直线；两点式方程不能表示垂直于1．点斜式、斜截式方程适用于不垂直于轴的直线；

截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．

2．截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．

3．求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论． [小题纠偏] lAyxl的方2倍，则直线＝1．若直线3经过点＋(1,2)，且倾斜角是直线的倾斜角的程为____________． yxl的倾斜角为2α＝45°，所以所求直线因为直线＝90°，＝3＋的倾斜角为α解析：lx＝的方程为所以直线1. x＝1

答案：M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________2．过点．

4k＝－，解析：①若直线过原点，则 34yx， ＝－所以3xy＝30. 即4＋②若直线不过原点． xyayx. ＋设＋＝1，即＝aaa －4)＝－1，(则＝3＋yx0. 1＋所以直线的方程为＋＝yyxx0

＝104答案：＋3＝或＋＋

础送分型考点——自主练透

考点一 直线的倾斜角与斜率基

[题组练透] y轴上的截距为－1的直线方程是)倾斜角为135°，在1．(2019·启东中学检测________． kyxxy＋1，即，所以直线方程为＝＝－＋－解析：直线的斜率为1＝tan 135°＝－10. xy＋1＝＋0

答案：xy＋2＝0的倾斜角的取值范围是sin α＋________．2．(2018·绥化一模)直线 xyk＝－sin α，又－1≤sin α＋2＝0解析：因为直线的斜率sin α＋≤1，所以－kxy＋2＝0

的倾斜角为θ，所以－1≤tan θ≤1，而≤1.设直线θsin α＋∈[0，π)1≤，π3π????????π，0，.

????44π3π????????，0，π∪ 答案：

????44ABaCa的值为________．， (4,3)，(6,5)(5，三点共线，则)．若点3a－335－kkaABCa－

∪故倾斜角的取值范围是

3＝三点共线，所以－3.由于1，解析：因为，即＝＝1，＝＝，答案：4

ABAC45－－46a＝4.

PPlxmym＝0＋Q(2,2)，若直线与线4．已知线段：Q两端点的坐标分别为＋(－1,1)和Pm的取值范围是________有交点，则实数．段 QlxmymA(0，－过定点1)＋，当解析：如图所示，直线＝：

0＋

lAPAQ

13kkmk. ＝－2，≠0时，＝－ m2Pl 有交点，结合图象知，若直线Q与311. 或－≥应满足－≤－2 mm221mm ≤或－≤；＜0＜解得0 32Plmx Q有交点．＝当时，

直线＝00的方程为，与线段12????m，－.

所以实数的取值范围为 ??2312????，－ 答案： ??23]

谨记通法[k α与斜率的关系1．倾斜角πππ????????k≠0，α 增大到＋∞.时，α当∈增大到且由0的值由0

????222．

πππ????????k≠，πα增大到当α∈α的单调函数，当α时，在此区间内由也是关于

????222kk≠0)． 的值由－∞趋近于π)时，0(π(α≠2．斜率的2种求法 k＝tan α或α的某种三角函数值，一般根据求(1)定义法：若已知直线的倾斜角α斜率． yy－xxBAxyxyk)(2)公式法：若已知直线上两点≠(，，一般根据斜率公式)，((，＝) xx12

221112

－ 求斜率．

12

重点保分型考点—

—师生共研 直线的方程考点二 ]

[典例引领1xAy 的斜率的＝－4(1)求过点的直线方程；(1,3)，斜率是直线 3yxA 轴上截距的(2)求经过点2(－5,2)，且在轴上的截距等于在倍的直线方程．41Akk，因此，依题意＝－4×＝－.解：(1)设所求直线的斜率为又直线经过点(1,3) 334yyxx0.

133＋＝－所求直线方程为(－3＝－，即－1)4 3 (2)当直线不过原点时，xy 1，＝设所求直线方程为＋ aa2 将(－5,2)代入所设方程，1a 解得，＝－ 2yx 0；所以直线方程为＋21＋＝ 当直线过原点时，kykx ，＝2设直线方程为＝5，则－2k 解得，＝－ 52xy ＝－所以直线方程为， 5yx0. 5＝2即＋yxyx0.

2故所求直线方程为＋5＝＋1＝20或＋]

[由题悟法 2求直线方程的个注意点 (1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．应先考若采用点斜式，(截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用对于点斜式、(2)．

虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．

[即时应用] Pxy轴上的截距大1轴上的截距比在的直线方程为(6，－2)，且在1．过点________________． yx2－6aa，则直1＝1，解得＝2或＋＝1，则＋＝解析：设直线方程的截距式为

aaaa1＋＋1xyxyyxyx0.

－23－6＝0或＝＋线方程为＋＝1或＋＝1，即22＋ 12＋1121＋yyxx0 ＋2＝0或－答案：22＋3＝－6xNABCABACMyBC在2．在△在中，已知(5，－2)，的中点(7,3)，且轴上，的中点MN 的方程为________________轴上，则直线．xyxy＋7＋5＋3－

2????

0000

????NyMCx，，.

????2222x＋5Myx＝－5.

2y＋3yNxC(－5，－3)，0＝，所以 因为点＝－在轴上，

5－＝51＝所以直线，即的方 25????NM，－0(1,0)所以， ， ??2xyyMNx0.

00

0

0

0

0

，)解析：设，则(，

0在，所以轴上，所以＝因为点所以3，即

程为＋－2

51－ 2yx0 答案：5－2－5＝

题点多变型考点——多角探明 直线方程的综合应用考点三

]

[锁定考向直线方程的综合应用是常考内容之一，它常与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多 为客观题． 常见的命题角度有： (1)与基本不等式相结合的最值问题； 与导数的几何意义相结合的问题；(2) (3)与圆相结合求直线方程的问题． ]

[题点全练 角度一：与基本不等式相结合的最值问题ByxAlP 两点．，轴，的直线(2,1))．(2019·如皋检测1过点与轴正半轴分别交于lOBOA 的方程；最小时，求直线·当(1)．

lOBOA 最小时，求直线＋(2)当2的方程．yxkxklly轴正半轴分别交于轴，－2)(与＜解：设直

线0)的方程为－1＝，则(1????kAB0－，2 ，两点．(0,1－2) k??111????????????kkkOAOB－2－－

，＝)＋2－·(1－24)＝＋( ＝4≥4＋8－(1)4·

kkk??????

11kk8.