---- ∵HP ∥OE ，

∴△PHC ∽△EOC ．

∴

，即 ．解得 HP= ．

∴点H 的坐标为（ 1，

）．

（ 4）①如图 2，过点 B 作 EC 的平行线交抛物线于

F，过点 F 作 FF ′⊥x 轴于 F′．∵BF ∥EC ，

∴∠BCE= ∠FBC ．

∴当

，即 BC2=CE ?BF 时，△BCE ∽△FBC ．

设点 F 的坐标为（ x，﹣（ x+2）（ x﹣m）），由

，得

． 解得 x=m+2 ．

∴F′（m+2 ，0）．

∵∠BCE= ∠FBC ．

∴

，得 ，解得： ．

又∵BC 2=CE ?BF ， ∴

，整理得： 0=16 ．此方程无解．

②如图 3，作∠CBF=45 °交抛物线于 F，过点 F 作 FF′⊥x 轴于 F′，

-----

----

∵OE=OB ，∠EOB=90 °，

∴∠EBO=45 °．

∵∵∠CBF=45 °，

∴∠EBC= ∠CBF ，

∴当

，即 BC2=BE ?BF 时，△BCE ∽△BFC ．

在 Rt△BFF ′中，由 FF ′=BF ′，得 （ x+2 ）（ x﹣m ）=x+2 ，解得 x=2m

∴F′（2m ， 0）．

∴BF ′=2m+2 ，

∴BF=2 m+2

．

由 BC 2=BE ?BF ，得（ m+2 ）2=2 ×（2 m+2

）．解得

．

∵m＞0，

∴m=2+2 ．

综上所述，点 m 的值为 2+2

．

7．如图，已知抛物线 y= x2 ﹣（b+1 ）x+ （b 是实数且 b＞ 2）与 x 轴的正半

轴分别交于点 A、 B（点 A 位于点 B 的左侧），与 y 轴的正半轴交于点

C．

（ 1）点 B 的坐标为 （b ，0） ，点 C 的坐标为 （0， ） （用含 b 的代

数式表示）；

----- ．

----

（ 2）请你探索在第一象限内是否存在点 P，使得四边形 PCOB 的面积等于 2b， 且△PBC 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在， 求出点 P 的坐标；如

果不存在，请说明理由；

（ 3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q，使得△QCO ，△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似 （全等可作相似的特殊情况） ？如果存在， 求出点 Q

的坐标；如果不存在，请说明理由．

【解答】 解：（1）令 y=0 ，即 y= x2﹣ （b+1 ）x+ =0，

解得： x=1 或 b，

∵b 是实数且 b＞ 2，点 A 位于点 B 的左侧，

∴点B 的坐标为（ b，0），

令 x=0 ， 解得： y= ，

∴点C 的坐标为（ 0， ）， 故答案为：（ b， 0），（0， ）；

（ 2）存在，

假设存在这样的点

P，使得四边形 PCOB 的面积等于 2b ，且△PBC 直角顶点的等腰直角三角形．

----- 是以点 P 为

----

设点 P 的坐标为（ x，y），连接 OP．

则 S 四边形 PCOB =S△PCO +S△POB = ? ?x+ ?b?y=2b ，

∴x+4y=16 ．

过 P 作 PD ⊥x 轴， PE ⊥y 轴，垂足分别为 D、E，

∴∠PEO= ∠EOD=

∠ODP=90 °．∴四边形PEOD

是矩形． ∴∠EPD=90 °．

∴∠EPC= ∠DPB ．

∴△PEC ≌△PDB ，∴PE=PD ，即 x=y．

由

解得

由△PEC ≌△PDB 得 EC=DB ，即 ﹣=b ﹣ ，

解得 b=

＞2 符合题意．

∴P 的坐标为（

，

）；

（ 3）假设存在这样的点 Q，使得△QCO ，△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形

均相似．

∵∠QAB= ∠AOQ+ ∠AQO ，

∴∠QAB ＞∠AOQ ，∠QAB ＞∠AQO ．

∴要使△QOA 与△QAB 相似，只能∠QAO= ∠BAQ=90 °，即 QA ⊥x 轴．∵b＞2，

∴AB＞OA，

-----