----

设点

则点 N 坐标为

，PG 交直线 AC 于 N，

，

∵S△PNA ： S△GNA =PN： GN ；

∴①若PN ：GN=1 ：2，则 PG： GN=3 ： 2， PG= GN ； 即

=

；

解得： m1 =﹣3，m2 =2（舍去）； 当 m=﹣3 时，

= ；

；

∴此时点P 的坐标为

②若 PN ：GN=2 ：1，则 PG ：GN=3 ：1，PG=3GN ； 即

=

；

解得： m1 =﹣12， m2=2（舍去）； 当 m=﹣12 时，

= ；

；

∴此时点P 的坐标为 综上所述，当点 P 坐标为 AC 分成 1：2 两部分．

或

时，△PGA 的面积被直线

4．如图， 在平面直角坐标系中， 已知点 A（﹣2，﹣4），OB=2 ，抛物线 y=ax 2+bx+c

----- ----

经过点 A、O、B 三点．

（ 1）求抛物线的函数表达式；

（ 2）若点 M 是抛物线对称轴上一点，试求 AM+OM 的最小值；

（ 3）在此抛物线上，是否存在点 P，使得以点 P 与点 O、A、 B 为顶点的四边形是梯形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】 解：（1）由 OB=2 ，可知 B（2，0），

将 A（﹣2，﹣4），B （2， 0），O（ 0， 0）三点坐标代入抛物线得 解得：

∴抛物线的函数表达式为

．

答：抛物线的函数表达式为

．

（2）由

，

可得，抛物线的对称轴为直线

x=1 ，

且对称轴 x=1 是线段 OB 的垂直平分线，

连接 AB 交直线 x=1 于点 M，M 点即为所求．

∴MO=MB ，则 MO+MA=MA+MB=AB

作 AC ⊥x 轴，垂足为 C，则 AC=4 ，BC=4 ，∴AB=

----- 2+bx+c ，

y=ax

----

∴MO+MA 的最小值为

．答： MO+MA 的最小值为

．

（ 3）①若 OB∥AP ，此时点 A 与点 P 关于直线 x=1 对称，

由 A（﹣2，﹣4），得 P（4，﹣4），则得梯形 OAPB ． ②若 OA ∥BP，

设直线 OA 的表达式为 y=kx ，由 A（﹣2，﹣4）得， y=2x ．

设直线 BP 的表达式为 y=2x+m ，由 B（2 ，0）得， 0=4+m ，即 m= ﹣4，

∴直线BP 的表达式为 y=2x ﹣4

由

，解得 x1=﹣4，x2=2 （不合题意，舍去）

当 x=﹣4 时， y=﹣12，∴点P （﹣4，﹣12），则得梯形 OAPB ．

③若 AB ∥OP，

设直线 AB 的表达式为 y=kx+m ，则

，

解得

，∴AB 的表达式为 y=x ﹣2．

∵AB ∥OP ，

∴直线OP 的表达式为 y=x ．

由

，得 x2=0 ，解得 x=0 ，

（不合题意，舍去），此时点 P 不存在．

综上所述，存在两点 P（ 4，﹣4）或 P（﹣4，﹣12 ）

使得以点 P 与点 O、A、 B 为顶点的四边形是梯形．

答：在此抛物线上，存在点 P，使得以点 P 与点 O、 A、B 为顶点的四边形是梯

----- ----

形，点 P 的坐标是（ 4，﹣4）或（﹣4，﹣12 ）．

5．已知抛物线 y= ﹣x2+bx+c 经过点 A（ 1）求抛物线的函数解析式； （ 2）求 tan ∠ABO 的值；

0，1），----- B （4，）．

（3