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【解答】 解：（1）如图，过点 A 作 AD⊥y 轴于点 D，

∵AO=OB=4 ，

∴B（4，0）．

∵∠AOB=120 °，

∴∠AOD=30 °，

∴AD= OA=2 ，OD=

OA=2 ．

∴A（﹣2，2 ）．

2

将 A（﹣2，2 ）， B（4，0）代入 y=ax +bx，得：

，解得：

，

x2﹣E，

∴这条抛物线的表达式为 y= （ 2）过点 M 作 ME ⊥x 轴于点

x；

∵y= x2﹣∴M（2，﹣ ∴tan ∠EOM=

x=

（x﹣2）2﹣

，

），即 OE=2 ，

．

=

EM= ．

∴∠EOM=30 °．

∴∠AOM= ∠AOB+ ∠EOM=150 °．

（ 3）过点 A 作 AH ⊥x 轴于点 H，

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∵AH=2 ，HB=HO+OB=6 ，

∴tan ∠ABH= =

．

∴∠ABH=30 °，

∵∠AOM=150 °，

∴∠OAM ＜30 °，

∴∠OMA ＜30 °，

∴点C 不可能在点 B 的左侧，只能在点 B 的右侧．

∴∠ABC=180 °﹣ABH=150∠ °，

∵∠AOM=150 °，

∴∠AOM= ∠ABC ．

∴△ABC 与△AOM 相似，有如下两种可能：

①△BAC 与∽△OAM ，②△BAC 与∽△OMA

∵OD=2 ， ME=

，

∴OM=

，

∵AH=2 ，BH=6 ，

∴AB=4 ．

①当△BAC 与∽△OAM 时，

由

= 得，解得 BC=4 ．

∴C1（8，0）．

②当△BAC 与∽△OMA 时，

由 = 得，解得 BC=12 ．

∴C2（ 16， 0）．

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综上所述，如果点 C 在 x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，

则点 C 的坐标为（ 8 ，0）或（ 16， 0）．

3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=ax 2+bx+c 交 x 轴于 A（2，0），

B（ 6， 0）两点，交 y 轴于点

．

（ 1）求此抛物线的解析式；

（ 2）若此抛物线的对称轴与直线 y=2x 交于点 D，作⊙D 与 x 轴相切，⊙ D 交 y 轴于点 E、 F 两点，求劣弧 EF 的长；

（ 3） P 为此抛物线在第二象限图象上的一点， PG 垂直于 x 轴，垂足为点 G， 试确定 P 点的位置，使得△ PGA 的面积被直线 AC 分为 1 ：2 两部分？

【解答】解：（1）∵抛物线 y=ax 2+bx+c 经过点 A（2，0），B（6，0），

；

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∴

，

解得

；

∴抛物线的解析式为：

；

（ 2）易知抛物线的对称轴是 x=4 ， 把 x=4 代入 y=2x ，得 y=8， ∴点D 的坐标为（ 4， 8）；

∵⊙D 与 x 轴相切，∴⊙D 的半径为 8；

连接 DE 、DF ，作 DM ⊥y 轴，垂足为点 M；

在 Rt△MFD 中， FD=8 ，MD=4 ， ∴cos ∠MDF= ；

∴∠MDF=60 °，

∴∠EDF=120 °；

∴劣弧EF 的长为：

；

（ 3）设直线 AC 的解析式为 y=kx+b ； ∵直线AC 经过点

，

∴

，

；

解得

∴直线AC 的解析式为：

；

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