x+y-2≤0,??
由于不等式组?x+2y-2≥0,
??x-y+2m≥0,
4
表示的平面区域为三角形ABC,且其面积等于,再
3
注意到直线AB:x+y-2=0与直线BC:x-y+2m=0互相垂直,所以三角形ABC是直角三角形;易知,A(2,0),B(1-m,m+1),C(
2-4m2m+21
,);从而S△ABC=|2+2m|2|m+1|332
12m+242
-|2+2m|2||=,化简得:(m+1)=4,解得m=-3,或m=1;检验知当m=-3233时,已知不等式组不能表示一个三角形区域,故舍去;所以m=1;故选B.
9.(文)一个四面体的顶点在空间直角坐系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1)、(1,1,0)、(0,1,1)、(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到的正视图可为( )
[答案] A
[解析] 由已知条件作出四面体的直观图如图所示,
将四面体BDC1A1补形为正方体ABCD-A1B1C1D1,容易看出四面体在zOx平面上的投影为
ADD1A1(其中C1的投影为D1,B的投影为A),且BC1的投影线为AD1,它是实线,故选A.
(理)(20142新课标Ⅰ理,12)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( )
A.62 C.42 [答案] B
B.6 D.4
[解析] 由三视图可知,该几何体是一个三棱锥S-ABC,底面ABC为等腰直角三角形,直角边长AB=BC=4,侧面SBC⊥底面ABC,侧面SBC是一个等腰三角形,底边BC=4,高
SO=4,故其最长的棱为SA,取BC的中点O,则SO⊥平面ABC,∴BO=2,AO=AB2+DO2=
20,
∴SA=AO+SO=6.
其直观图如图1,把该几何体放入正方体中如图2.
22
10.(文)已知区域M:x+y-2x-2y-2≤0,区域N:2-x≤y≤x,随机向区域M中投放一点.该点落在区域N内的概率为( )
1
A. 41
C. 8[答案] A
[解析] M:(x-1)+(y-1)≤4为以C(1,1)为圆心,2为半径的圆及其内部的平面区域;又区域N:2-x≤y≤x,如图可知,随机向区域M内投放一点,则该点落在区域N内的1
概率P=. 4
2
2
2
2
π
B.
4πD.
8
(理)(20152湖北理,4)设X~N(μ1,σ1),Y~N(μ2,σ2),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是( )
2
2
A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t) D.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t) [答案] D
[解析] 由图象可知μ1<μ
2
,σ1<σ
2
,∴P(Y≥μ2)=
1
P(X≤σ2)>P(X≤σ1),对任意实数t,P(X≥t)
故选D.
π1+cos2x+4sinx11.当0 2sin2xA.-4 C.4 [答案] D [分析] 分式形式的函数的最值问题常考虑构造斜率模型求解,常常是过一个定点和一个动点的直线斜率. 1+cos2x+2?1-cos2x?3-cos2x[解析] f(x)==,它 sin2x0-?-sin2x?表示点(0,3)与点(-sin2x,cos2x)连线的斜率,而点(-sin2x,cos2x)π22 在x∈(0,)时是圆x+y=1的左半圆(不含端点),数形结合知当 2 过(0,3)的直线与该半圆相切时,斜率最小,即f(x)最小.设切线方程为y=kx+3,则=1?k=22或k=-22(舍),故f(x)的最小值为22. [方法总结] 1.形如直线的斜率、直线的方程、圆与圆锥曲线方程形式的代数式或等式可考虑以形助数. 2.复数、向量中的最值问题或与模有关的问题常借助图形分析. 3.三角函数问题中,求参数的取值范围(或恒成立)问题,图形的最高(低)点及对称,与其他曲线的交点等,常借助图象寻找关系. 12.(文)函数f(x)在(0,2)上是减函数,且关于x的函数f(x+2)是偶函数,那么( ) |3| B.-22 D.22 2 k2+1 ?1??5?A.f?? [答案] D [解析] ?5??1?B.f(3) 根据题意知,函数y=f(x+2)的图象关于y轴对称,且把它的图象沿x轴正方向平移2个单位便得到函数y=f(x)的图象.因此函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,且在(0,2)上递减.于是可作出函数y=f(x)的示意图. ?5??7??1?∴f?? ?2??2??2? ???x-2?+2x+sin?x-2?=2,(理)设x,y∈R,且满足?3 ??y-2?+2y+sin?y-2?=6,? 3 则x+y=( ) A.1 C.3 [答案] D B.2 D.4 [分析] 观察两个条件式有相同的构成特征,于是构造函数f(x),视两式为f(x)的两个函数值,利用函数变换及性质解决. [解析] 令f(x)=(x-2)+2x+sin(x-2),则f ′(x)=3(x-2)+2+cos(x-2)>0,∴f(x)单调递增, ∴f(4-x)=(2-x)+2(4-x)+sin(2-x) =-(x-2)-2x-sin(x-2)+8 =-f(x)+8=-2+8=6=f(y), ∴4-x=y,∴x+y=4. 二、填空题 13.(文)在△ABC中,3sinA+4cosB=6,3cosA+4sinB=1,则∠C的大小为________. [答案] π 6 2 2 2 2 3 3 3 2 [审题要点] 审条件,A+B+C=180°,sinA+cosA=1,sinB+cosB=1;审结论,求∠C可求C的某个三个函数值,结合条件,有sinC=sin(A+B);建立联系,确定方法,将两式两边平方相加.