高考数学二轮复习专题综合测试卷(8)数学思想与数学方法(含解析) 下载本文

当x∈(0,1)时,f ′(x)>0,函数f(x)单调递增; 当x∈(1,a)时,f ′(x)<0,函数f(x)单调递减; 当x∈(a,+∞)时,f ′(x)>0,函数f(x)单调递增. 此时x=1是f(x)的极大值点,x=a是f(x)的极小值点.

综上,当01时,x=1是f(x)的极大值点,x=a是f(x)的极小值点. 12

(理)已知函数f(x)=ax+lnx,其中a∈R.

2(1)求f(x)的单调区间;

(2)若f(x)在(0,1]上的最大值是-1,求a的值.

[分析] (1)求函数f(x)的单调区间,按用导数法求单调区间的一般步骤求解,由于f(x)解析式中含参数,故需分类讨论.第(2)问可在第一问的基础上按区间上最值讨论方法令最大值等于-1列方程求解.

ax2+1[解析] (1)f ′(x)=,x∈(0,+∞).

x当a≥0时,f ′(x)>0,从而函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a<0时,令f ′(x)=0,解得x=

1

-,舍去x=-

a1-. a此时,f(x)与f ′(x)的情况如下:

x f ′(x) f(x) (0,1-) a1- a(1-,+∞) a+  0 - f(1-); 1-) a 所以,f(x)的单调递增区间是(0,单调递减区间是(

1

-,+∞).

aa(2)①当a≥0时,由(1)得函数f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)=.

2令=-1,得a=-2,这与a≥0矛盾,舍去a=-2. 2②当-1≤a<0时,

1a-≥1,由(1)得函数f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)=. a2

aa令=-1,得a=-2,这与-1≤a<0矛盾,舍去a=-2.

2

a

③当a<-1时,0<令f(1

-<1,由(1)得函数f(x)在(0,1]上的最大值为f(

a1-).

a1

-)=-1,解得a=-e,满足a<-1.

a综上,当f(x)在(0,1]上的最大值是-1时,a=-e.

22.(本题满分12分)(文)(20152河南洛阳市期末)已知椭圆的中心是坐标原点O,焦点在x轴上,离心率为

22,坐标原点O到过右焦点F且斜率为1的直线的距离为. 22

(1)求椭圆的标准方程;

(2)设过右焦点F且与坐标轴不垂直的直线l交椭圆于P、Q两点,在线段OF上是否存在点M(m,0),使得|MP|=|MQ|?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.

x2y2

[解析] (1)椭圆方程可设为2+2=1(a>b>0),F(c,0),(c>0),

ab则过右焦点F的直线l1:x-y-c=0,由坐标原点O到l1的距离为则

|0-0-c|2

=,解得c=1. 22

2

. 2

c2x22

又e==,故a=2,b=1.∴所求椭圆方程为+y=1.

a22

(2)假设存在点M(m,0)(0

所以设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2)

??x+2y=2,由?

?y=k?x-1??

2

2

2

2

可得(1+2k)x-4kx+2k-2=0.

2

2

2222

4k2k-2∴Δ=8k+8>0恒成立,∴x1+x2=2,x1x2=2. 1+2k1+2k设线段PQ的中点为N(x0,y0), 则x0=

x1+x2

2k-k=2,y0=k(x0-1)=2, 21+2k1+2k∵|MP|=|MQ|,∴MN⊥PQ,∴kMN2kPQ=-1, -k2

1+2k即2k=-1, 2

2k2-m1+2k∴m=

112

=.∵k>0,∴0

2+2

2k2

k

x2y2

(理)(20152长春市质量监测)已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的上顶点为(0,1),且离心

ab率为

3. 2

(1)求椭圆C的方程;

x2y2x0xy0y(2)证明:过椭圆2+2=1(m>n>0)上一点Q(x0,y0)的切线方程为2+2=1;

mnmn(3)从圆x+y=16上一点P向椭圆C引两条切线,切点分别为A、B,当直线AB分别与x轴、y轴交于M、N两点时,求|MN|的最小值.

[解析] (1)∵b=1,e==2

2

ca3

,∴a=2, 2

∴椭圆C的方程为+y=1.

4(2)当y>0时,y=n故y′=-22x2

2

x2

1-2, m,

nxm1

x21-2

m∴当y0>0时,切线的斜率k=-2x02nm1

x201-2

m

nx01n2x0

=-22=-22.

my0my0

nn2x0

∴切线方程为y-y0=-22(x-x0),

my0

∴nx0x+my0y=my0+nx0=mn,∴

2

2

22

22

22

x0xy0y+=1. m2n2

x0xy0y+=1. m2n2当y0=0时,切线方程为x=±m,满足

x2y2x0xy0y综上,过椭圆2+2=1上一点Q(x0,y0)的切线方程为2+2=1.

mnmn(3)设点P(xP,yP)为圆x+y=16上一点,PA、PB是椭圆+y=1的切线,切点A(x1,

4

2

2

x2

2

x1xx2xy1)、B(x2,y2),过点A的椭圆的切线为+y1y=1,过点B的椭圆的切线为+y2y=1.

4

4

∵两切线都过P点,∴

x1xP4

+y1yP=1,

x2xP4

+y2yP=1.

∴切点弦AB所在直线的方程为14

∴N(0,),M(,0),

xxP4

+yyP=1.

yPxP161161xP+yP∴|MN|=2+2=(2+2)2 xPyPxPyP16

2

22

1xPyP=(2+17+1622) 16yPxP1

≥(17+216

22

x2y225PP162222)=,

yPxP16

x2y264216PP2

当且仅当2=162,即xP=,yP=时取等号,

yPxP55

55

∴|MN|≥,∴|MN|的最小值为.

44

反馈练习

一、选择题

1.(文)(20142山东理,5)已知实数x、y满足a

A.

11

>2 x+1y+1

2

xyB.ln(x+1)>ln(y+1) D.x>y

3

3

22

C.sinx>siny [答案] D

[解析] ay, 而幂函数y=x在定义域上为增函数, ∴x>y.

[点评] 可以用特值检验法求解.

3

3

3

xy(理)(20142唐山市二模)若正数a、b、c满足c+4bc+2ac+8ab=8,则a+2b+c的最小值为( )

A.3 C.2 [答案] D

[解析] ∵c+4bc+2ac+8ab=8,∴c(c+4b)+2a(c+4b)=8,∴(c+4b)(c+2a)=8,∵a、b、c都为正数,∴(c+4b)(c+2a)≤(2b+c≥22.

2.(文)(20142新课标Ⅱ文,5)等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,

2

2

B.23 D.22

c+4b+c+2a2

),∴(a+2b+c)≥8,∴a+

22