第17章 勾股定理 专题训练（含答案）

最短路径问题：

1. 用对称法求平面中最短问题

例1．高速公路的同一侧有A、B两城镇，如图，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA′＝2 km，BB′＝4 km，A′B′＝8 km.要在高速公路上A′、B′之间建一个出口P，使A、B两城镇到P的距离之和最小．求这个最短距离．

2.用计算法求平面中最短问题

例2．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人从A走到B，为了避免拐角C走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步路(假设2步为1 m)，却踩伤了花草．

3.用展开法求立体图形中最短问题

2

例3．如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，AB，CD分别是两底面的直径．若一只小虫从A

π点出发，沿圆柱侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是________(结果保留根号)． 巧用勾股定理解折叠问题

1.巧用对称法求折叠中图形的面积

例1．如图所示，将长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝

4， 求△BED的面积．

2.巧用方程思想求折叠中线段的长

例2．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG.

(1)求证：△ABG≌△AFG； (2)求BG的长．

构造直角三角形，利用勾股定理解题

例1．如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC边的中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE＝4，FC＝3，求EF的长．

例2.如图，在△ABC中，∠C＝60°，AB＝14，AC＝10.求BC的长．

系统训练

一、 选择题（每题3分，共30分）

1. 下列说法不能推出△ABC是直角三角形的是（ ）

A. a?c?b

222B. (a?b)(a?b)?c?0

22.

3. 4.

5.

C. ∠A＝∠B＝∠C D. ∠A＝2∠B＝2∠C

在两条垂直相交的道路上，一辆自行车和一辆摩托车相遇后又分别向北向东驶去，若自行车与摩托车每秒分别行驶7.5米、10米，则10秒后两车相距（ ）米 A. 55 B. 103 C. 125 D. 153

如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到该建筑物的高度是（ ） A. 12米 B. 13米 C. 14米 D. 15米

如图，是2002年8月北京地24届国际数学家大会会标，我国古代的数学家赵爽为证明所作的“弦图”，由4个全等的直角三角形拼合而成.如果图中大,小正方形的面积分别为52和4,那么一个直角三角形的两直角边的积等于（ ） A. 12 B. 20 C. 24 D. 10 等边三角形的边长为6，则它的面积为（ ） A. 93

B. 18

C. 36

D. 183

6. 若等腰三角形中相等的两边长为10cm，第三边长为16cm，那么第三边上的高为（ ）

A. 12cm B. 10cm C. 8cm D. 6cm 7. △ABC的三边满足a?b?50?a?b?50?(c?40)2?0，则△ABC为（ ） A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形

8. 如图，一圆柱体的底面周长为10cm，高BD为12cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D

出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（ ）cm A. 17 B. 13 C. 12 D. 14

9. 如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其

中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ） A. CD、EF、GH B. AB、EF、GH C. AB、CF、EF D. GH、AB、CD

10. 直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边上的高为h，则下列各式中总能成

立的是（ ）

A. ab?h C.

2B. a?b?2h D.

222111?? abh111?? 222abh二、 填空题（每天4分，共20分）

11. 已知一直角三角形的两边分别为3和4，则第三边长的平方是__________。

12. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，

则正方形A，B，C，D的面积之和为________cm2。

13. 已知如图：CA＝CB，数轴上点A所表示的数是______。

14. 在平面直角坐标系中，一束光从A（0，2）发出，经X轴反射，过点B（4，3），则这束光从点A到

点B所经过的路径长为_______________。

15. 如图，已知△ABC是腰长为1的等腰三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰三角

形Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰三角形Rt△ADE，…，以此类推，则第2013个等腰三角形的斜边长是___________。

三、 解答题（每题10分，共50分）

16. 已知，如图，四边形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，BC＝13cm，CD＝12cm，且∠A＝90°，求四

边形ABCD的面积。

17. 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使

它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？

18. 在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，试求△ABC的周长。

19. 如图，△ABC与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB上一点，求证：（1）

△ACE≌△BCD；（2）AD2＋DB2＝DE2。

20. 如图，小亮拿着等腰三角板玩不小心掉到两墙之间，∠ACB＝90°，AC＝BC，从三角板的刻度可知

AB＝20cm，若每块砖的厚度相等，求每块砖的厚度是多少？（结果保留根号）

《勾股定理》系统训练答案

一、 选择题（每题3分，共30分）

1. 下列说法不能推出△ABC是直角三角形的是（ C ）

A. a?c?b

222B. (a?b)(a?b)?c?0

22.

3. 4.

5.

C. ∠A＝∠B＝∠C D. ∠A＝2∠B＝2∠C

在两条垂直相交的道路上，一辆自行车和一辆摩托车相遇后又分别向北向东驶去，若自行车与摩托车每秒分别行驶7.5米、10米，则10秒后两车相距（ C ）米 A. 55 B. 103 C. 125 D. 153

如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到该建筑物的高度是（ A ） A. 12米 B. 13米 C. 14米 D. 15米 如图，是2002年8月北京地24届国际数学家大会会标，我国古代的数学家赵爽为证明所作的“弦图”，由4个全等的直角三角形拼合而成.如果图中大,小正方形的面积分别为52和4,那么一个直角三角形的两直角边的积等于（ C ） A. 12 B. 20 C. 24 D. 10 等边三角形的边长为6，则它的面积为（ A ） A. 93

B. 18

C. 36

D. 183

6. 若等腰三角形中相等的两边长为10cm，第三边长为16cm，那么第三边上的高为（ D ）

A. 12cm B. 10cm C. 8cm D. 6cm