考点：1.等差中项定义；2.等比数列及前n项和公式.3.错位相减法.
x2y2319. （本小题满分14分）已知椭圆2+2=1(a>b>0)的左焦点为F（-c,0）,离心率为，
ab3b443点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x+y=截得的线段的长为c，|FM|=.
4322(I)求直线FM的斜率；
(II)求椭圆的方程；
(III)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于2，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围.
?23??223?x2y23,??1 ；(III) ???,?【答案】(I) ； (II) ????.
333323????【解析】
试题分析：(I) 由椭圆知识先求出a,b,c的关系，设直线直线FM的方程为y?k(x?c)，求
x2y2出圆心到直线的距离，由勾股定理可求斜率k的值； (II)由(I)设椭圆方程为2?2?1，直
3c2c线与椭圆方程联立，求出点M的坐标，由FM?43可求出c，从而可求椭圆方程.(III)36?2x2设出直线FP：y?t(x?1)，与椭圆方程联立，求得t??2，求出x的范围，
3(x?1)2即可求直线OP的斜率的取值范围.
c212222222试题解析：(I) 由已知有2?，又由a?b?c，可得a?3c，b?2c，
a3设直线FM的斜率为k(k?0)，则直线FM的方程为y?k(x?c)，由已知有
?kc??c??b?3. ?2???????，解得k?3?k?1??2??2?222x2y2(II)由(I)得椭圆方程为2?2?1，直线FM的方程为y?k(x?c)，两个方程联立，消去y，
3c2c整理得
53x2?2cx?5c2?0，解得x??c或x?c，因为点M在第一象限，可得M的坐标为
3?23??23?432c,c，由，解得c?1，所以椭圆方程为FM?(c?c)?c?0?????3?3??3?2x2y2??1 32(III)设点P的坐标为(x,y)，直线FP的斜率为t，得t?y，即y?t(x?1)(x??1),x?1?y?t(x?1)?222与椭圆方程联立?x2y2，消去y，整理得2x?3t(x?1)?6，又由已知，得
??1?2?36?2x2t??2，解得 23(x?1)?3?x??1或?1?x?0， 2设直线OP的斜率为m，得m?y，即y?mx(x?0)，与椭圆方程联立，整理可得xm2?22?. x23①当x???,?1?时，有y?t(x?1)?0，因此m?0，于是m??3?2??22?，得x23?223?m??,?
3??3②当x???1,0?时，有y?t(x?1)?0，因此m?0，于是m??22?，得x23?23?m????,??
3??综上，直线OP的斜率的取值范围是???,???23??223?,????
3??33?考点：1.椭圆的标准方程和几何性质；2.直线和圆的位置关系；3.一元二次不等式. 20. （本小题满分14分）已知函数f(x)?nx?xn,x?R，其中n?N*,n?2.
(I)讨论f(x)的单调性；
(II)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g(x),求证：对于任意的正实数x，都有f(x)?g(x)；
(III)若关于x的方程f(x)=a(a为实数)有两个正实根x1，x2，求证： |x2-x1| n试题解析：(I)由f(x)?nx?x，可得，其中n?N*且n?2， 下面分两种情况讨论： （1）当n为奇数时： 令f?(x)?0，解得x?1或x??1， 当x变化时，f?(x),f(x)的变化情况如下表： x f?(x) f(x) (??,?1) (?1,1) (1,??) ? ? ? ? ? ? 所以，f(x)在(??,?1)，(1,??)上单调递减，在(?1,1)内单调递增. (2)当n为偶数时， 当f?(x)?0，即x?1时，函数f(x)单调递增； 当f?(x)?0，即x?1时，函数f(x)单调递减. 所以，f(x)在(??,?1)上单调递增，f(x)在(1,??)上单调递减. (II)证明：设点P的坐标为(x0,0)，则x0?n1n?1，f?(x0)?n?n2，曲线y?f(x)在点P处 的切线方程为y?f?(x0)?x?x0?，即g(x)?f?(x0)?x?x0?，令F(x)?f(x)?g(x)，即 F(x)?f(x)?f?(x0)?x?x0?，则F?(x)?f?(x)?f?(x0) 由于f?(x)??nxn?1?n在?0,???上单调递减，故F?(x)在?0,???上单调递减，又因为 F?(x0)?0，所以当x?(0,x0)时， F?(x0)?0，当x?(x0,??)时，F?(x0)?0，所以F(x)在(0,x0)内单调递增，在(x0,??)内单调递减，所以对任意的正实数x都有 F(x)?F(x0)?0，即对任意的正实数x，都有f(x)?g(x). 2 (III)证明：不妨设x1?x2，由(II)知g(x)?n?n???x?x?，设方程g(x)?a的根为x?， 02可得 x2??a?x0.，当n?2时，g(x)在???,???上单调递减，又由(II)知n?n2g(x2)?f(x2)?a?g(x2?),可得x2?x2?. 类似的，设曲线y?f(x)在原点处的切线方程为y?h(x)，可得h(x)?nx，当