16. （本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
(I)设A为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A发生的概率；
(II)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望. 【答案】(I)
6; 35(II) 随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4 P E?X??5 23311 147714【解析】
试题分析：(I)由古典概型计算公式直接计算即可； (II)先写出随机变量X的所有可能值，求出其相应的概率，即可求概率分布列及期望. 试题解析：(I)由已知，有
2222C2C3?C3C36 P(A)??C8435所以事件A发生的概率为
6. 35(II)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4
k4?kC5C3P?X?k??(k?1,2,3,4)
C84所以随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4 3311 14771413315?2??3??4?? 所以随机变量X的数学期望E?X??1?1477142P 考点：1.古典概型；2.互斥事件；3.离散型随机变量的分布列与数学期望.
17. （本小题满分13分）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱
A1A?底面ABCD,AB?AC,AB=1,
AC=AA1=2,AD=CD=5,且点M和N分别为B1C和D1D的中点.
(I)求证：MN?平面ABCD； (II)求二面角D1-AC-B1的正弦值；
(III)设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为长
1，求线段A1E的3
【答案】(I)见解析； (II) 【解析】
试题分析：以A为原点建立空间直角坐标系(I)求出直线MN的方向向量与平面ABCD的法向量，两个向量的乘积等于0即可；(II)求出两个平面的法向量，可计算两个平面所成二面角的余
310； (III) 107?2.
??????????的值，弦值的大小，再求正弦值即可；(III) 设A1E??A1B1，代入线面角公式计算可解出
即可求出A1E的长.
试题解析：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得
A(0,0,0),B(0,1,0),C(2,0,0),D(1,?2,0)，
A1(0,0,2),B1(0,1,2),C1(2,0,2),D1(1,?2,2)，又因为M,N分别为B1C和D1D的中点，得
?1?M?1,,1?,N(1,?2,1). ?2?
???????5?(I)证明：依题意，可得n?(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量，MN??0,?,0?，
2????????由此可得，MN?n?0，又因为直线MN?平面ABCD，所以MN//平面ABCD
???????????(II)AD1?(1,?2,2),AC?(2,0,0)，设n1?(x,y,z)为平面ACD1的法向量，则 ???????????x?2y?2z?0?n1?AD1?0，即?，不妨设z?1，可得n1?(0,1,1)， ????????2x?0??n1?AC?0????????????????n2?AB1?0设n2?(x,y,z)为平面ACB1的一个法向量，则???，又AB1?(0,1,2)，得 ???????n2?AC?0????y?2z?0z?1，不妨设，可得n2?(0,?2,1) ?2x?0????????????????n1?n210310因此有cosn1,n2?????，于是sinn1,n2?， ???1010n1?n2所以二面角D1?AC?B1的正弦值为310. 10?????????????(III)依题意，可设A,??2,1)，1E??A1B1，其中??[0,1]，则E(0,?,2)，从而NE?(?1?又n?(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量，由已知得
??????????NE?n11cosNE,n?????，整理得?2?4??3?0， ???NE?n(?1)2?(??2)2?123又因为??[0,1]，解得??7?2，
所以线段A1E的长为7?2.
考点：1.直线和平面平行和垂直的判定与性质；2.二面角、直线与平面所成的角；3.空间向量的应用. 18.
（
本
小
题
满
分
13
*分）已知数列
{an}满足
an?2?qan(为实数，且qq?1，?)a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列.
(I)求q的值和{an}的通项公式； (II)设bn?an?1aN?，且, 21,2log2a2n的前n项和. ,n?N*，求数列｛bn｝a2n?1?1?n2n?2?2,n为奇数,【答案】(I) an??n; (II) Sn?4?n?1.
2?22,n为偶数.?【解析】
试题分析：(I)由a3+a4-a2+a3=a4+a5-a3+a4得a4?a2?a5?a3 先求出q，分n为奇数与偶数讨论即可；(II)求出数列?bn?的通项公式，用错位相减法求和即可. 试题解析：(I) 由已知，有a3+a4-a2+a3=a4+a5-a3+a4，即a4?a2?a5?a3， 所以a2(q?1)?a3(q?1)，又因为q?1，故a3?a2?2，由a3?a1q，得q?2， 当n?2k?1(n?N*)时，an?a2k?1?2kk?1n2()(()()())()()()?2n?12，
当n?2k(n?N*)时，an?a2k?2?2，
?1?n2?2,n为奇数,所以{an}的通项公式为an??n
?22,n为偶数.?