ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F分别为AD，PB的中点．

PFAEB(1)求证：PE⊥BC；

(2)求证：平面PAB⊥平面PCD； (3)求证：EF∥平面PCD．

DC

21．（2018天津）如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ABD，?ABC是等边三角形，

点M为棱AB的中点，AB?2，AD?23，?BAD?90o． (1)求证：AD⊥BC；

(2)求异面直线BC与MD所成角的余弦值； (3)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．

AMBC22．(2018江苏)在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，AA1?AB，AB1?B1C1．

D

D1A1B1C1A求证：(1)AB∥平面A1B1C；

DBC

(2)平面ABB1A1?平面A1BC．

23．(2018浙江)如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，

?ABC?120o，A1A?4，C1C?1，AB?BC?B1B?2．

(1)证明：AB1⊥平面A1B1C1；

(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．

AA1B1C1CB24．（2017新课标Ⅱ）如图，四棱锥P?ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面

ABCD，AB?BC?1AD，?BAD??ABC?90o． 2PABCD

(1)证明：直线BC∥平面PAD；

(2)若?PCD的面积为27，求四棱锥P?ABCD的体积。

25．（2017新课标Ⅲ）如图，四面体ABCD中，?ABC是正三角形，AD?CD．

DCEBA

(1)证明：AC?BD；

(2)已知?ACD是直角三角形，AB?BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且

AE?EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．

26．（2017天津）如图，在四棱锥P?ABCD中，PD?PB，AD?平面PDC，AD∥BC，

AD?1，BC?3，CD?4，PD?2．

（Ⅰ）求异面直线AP与BC所成角的余弦值； （Ⅱ）求证：PD?平面PBC；

（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．

27．（2017山东）由四棱柱ABCD?A1B1C1D1截去三棱锥C1?B1CD1后得到的几何体如图

所示，四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E?平面ABCD，

（Ⅰ）证明：A1O∥平面B1CD1；

（Ⅱ）设M是OD的中点，证明：平面A1EM?平面B1CD1．

A1B1ABOEMCDD1

28．（2017北京）如图，在三棱锥P?ABC中，PA?AB，PA?BC，AB?BC，

PA?AB?BC?2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．

（Ⅰ）求证：PA?BD；

（Ⅱ）求证：平面BDE?平面PAC；

（Ⅲ）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E?BCD的体积．

29．（2017浙江）如图，已知四棱锥P?ABCD，?PAD是以AD为斜边的等腰直角三角

形，BC∥AD，CD?AD，PC?AD?2DC?2CB，E为PD的中点．

（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；

（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．

PEABCD

30．（2017江苏）如图，在三棱锥A?BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，

点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD． 求证：（1）EF∥平面ABC；

（2）AD⊥AC．

AEBFDC

31．（2017江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均

E1G1为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为107cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，

的长分别为14cm和62cm． 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm． 现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）

（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中

部分的长度；

（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中

部分的长度．