算法设计与分析习题答案1-6章 下载本文

110, 111, 101, 100)。设计分治算法对任意的n值构造相应的格雷码。

矩阵乘法。两个n×n的矩阵X和Y的乘积得到另外一个n×n的矩阵Z,且Zij

满足 (1≤i, j≤n),这个公式给出了运行时间为O(n)的算法。可以用分 治法解决矩阵乘法问题,将矩阵X和Y都划分成四个n/2×n/2的子块,从而X和Y的乘积可以用这些子块进行表达,即

从而得到分治算法:先递归地计算8个规模为n/2的矩阵乘积AE、BG、AF、BH、CE、DG、CF、DH,然后再花费O(n2)的时间完成加法运算即可。请设计分治算法实现矩阵乘法,并分析时间性能。能否再改进这个分治算法?

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习题5

1. 下面这个折半查找算法正确吗?如果正确,请给出算法的正确性证明,如果不正确,请

说明产生错误的原因。

int BinSearch(int r[ ], int n, int k) {

int low = 0, high = n - 1; int mid;

while (low <= high) {

mid = (low + high) / 2; if (k < r[mid]) high = mid;

else if (k > r[mid]) low = mid;

else return mid; }

return 0; }

错误。 正确算法:

int BinSearch1(int r[ ], int n, int k) {

int low = 0, high = n - 1; int mid;

while (low <= high) {

mid = (low + high) / 2; if (k < r[mid]) high = mid - 1;

else if (k > r[mid]) low = mid + 1;

else return mid; }

return 0;

}

2. 请写出折半查找的递归算法,并分析时间性能。

求两个正整数m和n的最小公倍数。(提示:m和n的最小公倍数lcm(m, n)与m和n的最大公约数gcd(m, n)之间有如下关系:lcm(m, n)=m×n/gcd(m, n))

插入法调整堆。已知(k1, k2, …, kn)是堆,设计算法将(k1, k2, …, kn, kn+1)调整为堆(假设调整为大根堆)。

参照:

void SiftHeap(int r[ ], int k, int n) {

int i, j, temp;

i = k; j = 2 * i + 1; 设计算法实现在大根堆中删除一个元素,要求算法的时间复杂性为O(log2n)。

计算两个正整数n和m的乘积有一个很有名的算法称

n m 为俄式乘法,其思想是利用了一个规模是n的解和一个规50 65 25 130 130 模是n/2的解之间的关系:n×m=n/2×2m(当n是偶数)

12 260 或:n×m=(n-1)/2×2m+m(当n是奇数),并以1×m=m6 520 作为算法结束的条件。例如,图给出了利用俄式乘法计算3 1040 1040 1 2080 2080 + 50×65的例子。据说十九世纪的俄国农夫使用该算法并因

3250 此得名,这个算法也使得乘法的硬件实现速度非常快,因

图 俄式乘法 为只使用移位就可以完成二进制数的折半和加倍。请设计算法实现俄式乘法。

拿子游戏。考虑下面这个游戏:桌子上有一堆火柴,游戏开始时共有n根火柴,两个玩家轮流拿走1,2,3或4根火柴,拿走最后一根火柴的玩家为获胜方。请为先走的玩家设计一个制胜的策略(如果该策略存在)。

如果桌上有小于4根的火柴,先手必胜,如果是5根,先手必输;依次类推,同理15、20、25…….都是必输状态;所有每次把对手逼到15、20、25…….等必输状态,就可以获胜。

9. 竞赛树是一棵完全二叉树,它反映了一系列“淘汰赛”的结果:叶子代表参加比赛的n个选手,每个内部结点代表由该结点的孩子结点所代表的选手中的胜者,显然,树的根结点就代表了淘汰赛的冠军。请回答下列问题:

(1)这一系列的淘汰赛中比赛的总场数是多少?

(2)设计一个高效的算法,它能够利用比赛中产生的信息确定亚军。

(1)因为n人进行淘汰赛,要淘汰n-1人,所有要进行n-1场比赛。

(2)

10. 在120枚外观相同的硬币中,有一枚是假币,并且已知假币与真币的重量不同,但不知道假币与真币相比较轻还是较重。可以通过一架天平来任意比较两组硬币,最坏情况下,能不能只比较5次就检测出这枚假币?

将120枚平均分为三组,记为:A,B,C;先将A,B比较,如果A,B重量不同(假如B比A重),再将B与C比较,如果B,C相同,则A有假币;如果B,C不同,再将A,C比较,如果A,C相同,则B有假币;如果A,C不同,则B有假币;如果A,B相同,则C有假币;

习题6

1. 动态规划法为什么都需要填表?如何设计表格的结构?

在填写表格过程中,不仅可以使问题更加清晰,更重要的是可以确定问题的存储结构; 设计表格,以自底向上的方式计算各个子问题的解并填表。

2. 对于图所示多段图,用动态规划法求从顶点0到顶点12的最短路径,写出求解过程。 1 6 3 8 1 7 3 3 3 5 6 5 10 4 4 5 5 8 2 0 12 3 5 3 8 3 11 3 7 9 8 2 6 6 6 4 图 第2题图

将该多段图分为四段;

首先求解初始子问题,可直接获得: d(0, 1)=c01=5(0→1) d(0, 2)=c02=3(0→1)

再求解下一个阶段的子问题,有: d(0,3)= d(0, 1)+ c13 =6(1→3)

d(0,4)=min{d(0,1)+ c14 ,d(0,2)+ c24}=8(1→4) 。。。。。。。。(以此类推)

最短路径为:0→1→3→8→11→12

3.用动态规划法求如下0/1背包问题的最优解:有5个物品,其重量分别为(3, 2, 1, 4,5),价值分别为(25, 20, 15, 40, 50),背包容量为6。写出求解过程。

(x1, x2,x3,x4,x5) →(1,1,1,0,0)(过程略)

4. 用动态规划法求两个字符串A=\xzyzzyx\和B=\zxyyzxz\的最长公共子序列。写出求解过程。 略

5. 给定模式\和文本\,写出动态规划法求解K-近似匹配的过程。 略

6. 对于最优二叉查找树的动态规划算法,设计一个线性时间算法,从二维表R中生成最优二叉查找树。

7. Ackermann函数A(m, n)的递归定义如下:

n?1??A(m,n)??A(m?1,1)?A(m?1,A(m,n?1))?m?0m?0,n?0 m?0,n?0设计动态规划算法计算A(m, n),要求算法的空间复杂性为O(m)。

考虑下面的货币兑付问题:在面值为(v1, v2, …, vn)的n种货币中,需要支付y值的货币,应如何支付才能使货币支付的张数最少,即满足

?xvi?1nii?y,且使?xi最小(xi是

i?1n非负整数)。设计动态规划算法求解货币兑付问题,并分析时间性能和空间性能。

#include #define N 100000 #define M 20

int a[N][M]; int value[M];

using namespace std;

int main() {

while(true) {

int i,j,k; int x,y,z;

cout<<\输入货币种类的个数:\ cin>>x;

cout<<\从小到大输入货币的价值,其中第一个必须为一:\

for(i=1;i<=x;i++)//x为货币种类的个数 {

cout<<\ cin>>y; value[i]=y; }

cout<<\输入要兑换的钱的价值:\ cin>>z;//z为钱 for(j=0;j<=z;j++) a[j][0]=0;

for(k=0;k<=x;k++) a[0][k]=0;

for(i=1;i<=z;i++) {

for(j=1;j<=x;j++) {

if(value[j]==i) a[i][j]=1;

else if(value[j]>i) a[i][j]=a[i][j-1]; else

a[i][j]=a[i-value[j]][j]+1;//相当于把乘法换成加法,即碰到一

个钱数于兑换货币自身价值时,返回到

钱数减去该货币值的地方,其值再加1// }//for }

cout<<\兑换的最小货币个数是:\

}//while

return 0; }