E???1Q?， 方向相左；【1分】 ?o2?oSE????2?3Q??， 方向相右；【1分】 ?o?o2?oS?4Q?， 方向相右。【1分】 ?o2?oSE????8. 二个均匀带电球面同心放置，半径分别为R1和R2(R1

解法一：由电势叠加原理求解.

因为一个均匀带电q的球面（半径为R）的电势分布为

?q?4??r?0????q??4??0R(r?R)【2分】

(r?R)q14??0R1?q24??0R214??0(q1q2?)【2分】 R1R2所以，在rR2处 ?3?q1?q2=

(4??0rq14??0r4??0R2q24??0r=

14??0q1q2?)【2分】 rR2?=

q1?q2【1分】 4??0r解法二：由电势的定义式求解。

(1) 求电场分布: 可由高斯定理或电场叠加原理求得 E1=0(r

在r

12q14??0r( R1R2) 【2分】 4??0r2?R1R2?=?RR21q14??0rdr??2q1?q2q11q1?q211q1q2dr(?)?(?)【1分】 ==R24??r24??0R1R24??0R24??0R1R20?在R1

2?R2?=?rR2q14??0rdr??2?q1?q2q111q1?q21q1q2dr(?)?(?)【1分】 ==R24??r24??rR4??R4??rR2002020??在r>R2处, ?3??rE3?dr=?r五、证明题：

q1?q2q1?q2dr=【1分】 24??0r4??0r如图所示，长直导线中通有电流I，另一矩形线圈共N 匝，宽a，长L，以v的速度向右平动，试证明：当d时线圈中的感应电动势为

?0INvLa。

2?d(d?a)解一： 由动生电动势公式???(v?B)?dl求解。

方法一： 通有电流I的长直导线的磁场分布为B=μ0I/2πx，方向垂直线圈平面向里。对于线圈的上、下两边，因v?B的方向与dl的方向垂直，故在线圈向右平移时，线圈的上下两边不会产生感应电动势，（上、下两导线没切割磁场线），只有左右两边产生动生电动势。而左、右两边中动生电动势? 的方向相同，都平行纸面向上，可视为并联，所以线圈中的总电动势为

?＝?1－?2＝N[?l(v?B左)?dl－?l(v?B右)?dl]【3分】

左右=N[?0vB左sin90?dlcos0???0vB右sin90?dlcos0?] =N[?0vLL?0I?INvLa?0INv?0I11dl]=dl－?v(?)L=0【3分】 02?(d?a)2?d(d?a)2?d2?dd?aLL? ＞0， 则? 的方向与?1的方向相同，即顺时针方向【3分】。

方法二： 当线圈左边距长直导线距离为d时，线圈左边的磁感应强度B1=μ0I/2πd，方向垂直纸面向里。线圈以速度v运动时左边导线中的动生电

动势为

?1＝N?0(v?B1)?dl=N?0vB1sin90?dlcos0?=NvB1?0dl=Nv

LLL

?0IL. 2?d方向为顺时针方向【3分】。线圈右边的磁感应强度B2=μ0I/2π(d+a)，方向垂直纸面向里。当线圈运动时右边导线中的动生电动势为

?2 =N?0(v?B2)?dl=N?0vB2sin90?dlcos0?=NvB2?0dl=Nv

方向为逆时针方【3分】。所以线圈中的感应电动势为

?＝?1－?2= Nv

?0I?INvLa?0IL－NvL=0

2?(d?a)2?d(d?a)2?dLLL?0I2?(d?a)L.

? ＞0，即? 的方向与?1的方向相同，为顺时针方向【3分】。 方法三： 由? =?L(v?B)?dl，积分路径L取顺时针方向，有

? =N[?L(v?B)?dl]?N[?左(v?B)?dl??上(v?B)?dl??右(v?B)?dl??下(v?B)?dl]

=N[?左(v?B)?dl??右(v?B)?dl]=N(?左vB左dl??右vB右dl) =Nv

?0I?INvLa?0IL－NvL=0【6分】

2?(d?a)2?d(d?a)2?d? ＞0，即? 的方向与闭合路径L的方向相同，为顺时针方向【3分】。 解二： 由法拉弟电磁感应定律求解。

因为长直导线的磁场是一非均匀磁场B=μ0I/2πr，在线圈平面内磁场方向垂直线圈平面向里。故在距长直导线r处取一长为L，宽为dr的小面元dS=Ldr，取回路绕行方向为顺时针方向，则通过该面元的磁通量

dΦ=B?dS=BdScos0°=

?0ILdr 2?r通过总个线圈平面的磁通量（设线圈左边距长直导线距离为x时）为

Φ=?Sd???xx?a?0I?ILx?aLdr?0ln【3分】 2?r2?x线圈内的感应电动势由法拉弟电磁感应定律为

? =－

?IL?NIL?NILavd?d?x?a?adx??N??N0(ln)???0[]?0 dtdt2?x2?(x?a)xdt2?(x?a)x当线圈左边距长直导线距离x=d时，线圈内的感应电动势为

? =

?0NILav【3分】

2?(d?a)d因为? ＞0，所以? 的方向与绕行方向一致，即为顺时针方向【3分】。 感应电动势方向也可由楞次定律判断：当线圈向右平动时，由于磁场逐渐减弱，通过线圈的磁通量减少，所以感应电流所产生的磁场要阻碍原磁通的减少，即感应电流的磁场要与原磁场方向相同，所以电动势方向为顺时针方向。 2. 一圆形载流导线，电流为I，半径为R。（1）证明其轴线上的磁场分布为B=

?0IR22(R?x)223/2；（2）指出磁感应强度B的方向？

令它

(1)证： 如图所示，把圆电流轴线作为x轴，并原点在圆心上。在圆线圈上任取一电流元Idl，在轴上任一点P处的磁场dB的方向垂直于dl和

r，亦即垂直于dl和r组成的平面。由于dl总与r垂直，所以dB的大小为

dB=

?0Idl【1分】 4?r2 将dB分解成平行于轴线的分量dB∥和垂直于轴线的分量dB?两部分，它们的大小分别为

dB∥=dBsinθ=

?0IRdl, dB?=dBcosθ【1分】 4?r3式中θ是r与x轴的夹角。考虑电流元Idl所在直径另一端的电流元在P点的磁场，可知它的dB?与Idl的大小相等方向相反因而相互抵消。由此可知，整个圆电流垂直于x轴的磁场?dB?=0【2分】，因而P点的合磁场的大小为

B=?dB=??0RI?0RIdl?dl【1分】 4?r34?r3?