请同学独立完成下面这个问题．

22?b?b?4ac?b?b?4ac 问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0），试推导它的两个根x1=，x2=(这个方

2a2a程一定有解吗?什么情况下有解？)

分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c?也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去． 解：移项，得：ax2+bx=-c

bcx=- aabb2cb2

配方，得：x2+x+（）=-+（）

a2aa2ab2b2?4ac 即（x+）= 22a4ab2?4ac22 ∵4a>0，4a2＞0, 当b-4ac≥0时≥0 24a 二次项系数化为1，得x2+

b2?4ac2b2

∴（x+）=()

2a2abb2?4ac?b?b2?4ac 直接开平方，得：x+=± 即x= 2a2a2a?b?b2?4ac?b?b2?4ac ∴x1=，x2=

2a2a 由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：

（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，?将a、b、c代入

?b?b2?4ac式子x=就得到方程的根．(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、

2a除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。) （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．

（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 公式的理解

（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根． 例1．用公式法解下列方程．

（1）2x2-x-1=0 （2）x2+1.5=-3x (3) x2-2x+ 1=0 （4）4x2-3x+2=0 2 分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．

补:（5）（x-2）（3x-5）=0 三、巩固练习

教材P42 练习1．（1）、（3）、（5）或(2) 、(4) 、(6) 四、应用拓展

例2．某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）xm2?2+（m-2）x-1=0提出了下列问题．

（1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程． （2）若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在，请求出． 你能解决这个问题吗？

分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0．

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（2）要使它为一元一次方程，必须满足:

?m2?1?1?m2?1?0?m?1?0①?或②?或③?

m?2?0(m?1)?(m?2)?0m?2?0??? 五、归纳小结 本节课应掌握：

（1）求根公式的概念及其推导过程； （2）公式法的概念；

（3）应用公式法解一元二次方程的步骤:1）将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0.2)找出系数a,b,c,注意各项的系数包括符号。3)计算b2-4ac，若结果为负数，方程无解，4）若结果为非负数，代入求根公式，算出结果。

（4）初步了解一元二次方程根的情况． 六、布置作业

教材 复习巩固4．

第7课时 21.2.4 判别一元二次方程根的情况

教学内容

用b2-4ac大于、等于0、小于0判别ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况及其运用． 教学目标

掌握b2-4ac>0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实根，反之也成立；b2-4ac=0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，反之也成立；b2-4ac<0，ax2+bx+c=0（a≠0）没实根，反之也成立；及其它们关系的运用．

通过复习用配方法解一元二次方程的b2-4ac>0、b2-4ac=0、b2-4ac<0各一题，?分析它们根的情况，从具体到一般，给出三个结论并应用它们解决一些具体题目． 重难点关键

1．重点：b2-4ac>0?一元二次方程有两个不相等的实根；b2-4ac=0?一元二次方程有两个相等的实数；b2-4ac<0?一元二次方程没有实根． 2．难点与关键

从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的b2-4ac的情况与根的情况的关系． 教具、学具准备 小黑板 教学过程 一、复习引入

（学生活动）用公式法解下列方程．

（1）2x2-3x=0 （2）3x2-23x+1=0 （3）4x2+x+1=0

老师点评，（三位同学到黑板上作）老师只要点评（1）b2-4ac=9>0，?有两个不相等的实根；（2）b2-4ac=12-12=0，有两个相等的实根；（3）b2-4ac=│-4×4×1│=<0，?方程没有实根. 二、探索新知

方程 2x2-3x=0 3x2-23x+1=0 b2-4ac 的值 b2-4ac的符号 x1、x2的关系 （填相等、不等或不存在） 最新优秀的教育word文档

4x2+x+1=0 请观察上表，结合b2-4ac的符号，归纳出一元二次方程的根的情况。证明你的猜想。

从前面的具体问题，我们已经知道b2-4ac>0（<0，=0）与根的情况，现在我们从求根公式的角度来分析：

?b?b2?4ac 求根公式：x=，当b2-4ac>0时，根据平方根的意义，b2?4ac等于一个具体数，所2a?b?b2?4ac?b?b2?4ac以一元一次方程的x1=≠x1=，即有两个不相等的实根．当b2-4ac=0时，?

2a2a?b根据平方根的意义b2?4ac=0，所以x1=x2=，即有两个相等的实根；当b2-4ac<0时，根据平方根的意

2a义，负数没有平方根，所以没有实数解．

因此，（结论）（1）当b2-4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）?有两个不相等实数根即

?b?b2?4ac?b?b2?4acx1=，x2=．

2a2a （2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根即x1=x2= （3）当b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根． 例1．不解方程，判定方程根的情况 （1）16x2+8x=-3 （2）9x2+6x+1=0 （3）2x2-9x+8=0 （4）x2-7x-18=0

分析：不解方程，判定根的情况，只需用b2-4ac的值大于0、小于0、等于0?的情况进行分析即可． 解：（1）化为16x2+8x+3=0

这里a=16，b=8，c=3，b2-4ac=64-4×16×3=-128<0 所以，方程没有实数根． 三、巩固练习

不解方程判定下列方程根的情况: （1）x2+10x+23=0 （2）x2-x- （5）x2-3x- 四、应用拓展

例2．若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．

分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0就可求出a的取值范围． 五、归纳小结 本节课应掌握：

b2-4ac>0?一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实根；b2-4ac=0 ?一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实根；b2-4ac<0?一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根及其它的运用． 六、布置作业

教材复习巩固6 综合运用9 拓广探索1、2．

?b． 2a31=0 （3）3x2+6x-5=0 （4）4x2-x+=0 4161=0 （6）4x2-6x=0 （7）x（2x-4）=5-8x 4最新优秀的教育word文档

第8课时 21.2.3 因式分解法

教学内容

用因式分解法解一元二次方程． 教学目标

掌握用因式分解法解一元二次方程．

通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法──因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题． 重难点关键

1．重点：用因式分解法解一元二次方程．

2．?难点与关键：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便． 教学过程 一、复习引入

（学生活动）解下列方程．

（1）2x2+x=0（用配方法） （2）3x2+6x=0（用公式法） 老师点评：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为（

111，的一半应为，因此，应加上224121），同时减去（）2．（2）直接用公式求解． 44 二、探索新知

（学生活动）请同学们口答下面各题．

（老师提问）（1）上面两个方程中有没有常数项？ （2）等式左边的各项有没有共同因式？

（学生先答，老师解答）上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解: 因此，上面两个方程都可以写成：

（1）x（2x+1）=0 （2）3x（x+2）=0

因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=- （2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．（以上解法是如何实现降次的？）

因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法． 例1．解方程

（1）10x-4.9 x2 =0 （2）x（x-2）+x-2 =0 (3)5x2-2x-

1． 2123=x-2x+ 44 (4)(x-1) 2 =(3-2x) 2 思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？

解：略 （方程一边为0，另一边可分解为两个一次因式乘积。）

练习：1．下面一元二次方程解法中，正确的是（ ）．

A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7 B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1= C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2

23 ，x2= 55最新优秀的教育word文档