∴设BC=a、则AC=2a， ∴AD=AB=

=

，

∵OE∥BC，且AO=BO，

∴OE=BC=a，AE=CE=AC=a， 在△AED中，DE=在△AOD中，AO2+AD2=（

2=

=2a， ）2+（

a）2=

a2，OD2=（OE+DE）2=（a+2a）

a2，

∴AO2+AD2=OD2， ∴∠OAD=90°， 则DA与⊙O相切；

（3）连接AF， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AFD=∠BAD=90°， ∵∠ADF=∠BDA， ∴△AFD∽△BAD， ∴

=

，即DF?BD=AD2①，

又∵∠AED=∠OAD=90°，∠ADE=∠ODA， ∴△AED∽△OAD， ∴

=

，即OD?DE=AD2②，

=

，

由①②可得DF?BD=OD?DE，即又∵∠EDF=∠BDO， ∴△EDF∽△BDO， ∵BC=1， ∴AB=AD=

、OD=、ED=2、BD=、OB=，

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∴=，即=，

解得：EF=．

【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理逆定理等知识点．

25．（9分）已知Rt△OAB，∠OAB=90°，∠ABO=30°，斜边OB=4，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°，如图1，连接BC． （1）填空：∠OBC= 60 °；

（2）如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；

（3）如图2，点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，△OMN的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？

【考点】RB：几何变换综合题．

【专题】152：几何综合题．

【分析】（1）只要证明△OBC是等边三角形即可；

（2）求出△AOC的面积，利用三角形的面积公式计算即可；

（3）分三种情形讨论求解即可解决问题：①当0＜x≤时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NE⊥OC且交OC于点E．②当＜x≤4时，M在BC上运动，N在OB上运动．

③当4＜x≤4.8时，M、N都在BC上运动，作OG⊥BC于G． 【解答】解：（1）由旋转性质可知：OB=OC，∠BOC=60°， ∴△OBC是等边三角形，

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∴∠OBC=60°． 故答案为60．

（2）如图1中，

∵OB=4，∠ABO=30°， ∴OA=OB=2，AB=

OA=2

， =2

，

∴S△AOC=?OA?AB=×2×2∵△BOC是等边三角形，

∴∠OBC=60°，∠ABC=∠ABO+∠OBC=90°， ∴AC=∴OP=

=2=

=

，

．

（3）①当0＜x≤时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NE⊥OC且交OC于点E． 则NE=ON?sin60°=

x，

∴S△OMN=?OM?NE=×1.5x×x，

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∴y=x2．

．

∴x=时，y有最大值，最大值=

②当＜x≤4时，M在BC上运动，N在OB上运动．

作MH⊥OB于H．则BM=8﹣1.5x，MH=BM?sin60°=∴y=×ON×MH=﹣

x2+2

x． ，

（8﹣1.5x），

当x=时，y取最大值，y＜

③当4＜x≤4.8时，M、N都在BC上运动，作OG⊥BC于G．

MN=12﹣2.5x，OG=AB=2∴y=?MN?OG=12

﹣

， x，

， ．

当x=4时，y有最大值，最大值=2综上所述，y有最大值，最大值为

【点评】本题考查几何变换综合题、30度的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．

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