定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）

（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判

断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)

值域补充:（1）、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.

（2）应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。

2. 函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，

叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }。图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。

(2)画法

A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.

B、图象变换法（请参考必修4三角函数）常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换 (3)作用：

1、直观的看出函数的性质；

2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。发现解题中的错误。

3. 了解区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示． 4．什么叫做映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A?B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：A?B” 给定一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b 的原象

说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应法则f是确定的；②对应法则有“方向性”，

即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；③对于映射f：A→B来说，则应满足：（Ⅰ）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

常用的函数表示法及各自的优点：

1 ○ 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据； 2 ○解析法：必须注明函数的定义域；

3 ○图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征； 4 ○列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．

注意：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值

补充一：分段函数 ：在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入

Page 5 of

33

相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

补充二：复合函数：如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A) 称为f、g的复合函数。例如: y=2y=2cos(X+1) 5．函数单调性 （1）增函数

设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

1 注意：○函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

2 ○必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1

（2）图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

（3）函数单调区间与单调性的判定方法

(A) 定义法：

1 ○任取x1，x2∈D，且x1

3 ○变形（通常是因式分解和配方）； 4 ○定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

5 ○下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

(B)图象法(从图象上看升降)_

(C)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下： 函数 u=g(x) y=f(u) y=f[g(x)] 增 增 增 增 减 减 单调性 减 增 减 减 减 增 2

sinX

注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗？

6．函数的奇偶性 （1）偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

（2）奇函数

Page 6 of

33

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数． 1 注意：○函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶

性,也可能既是奇函数又是偶函数。

2 ○由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．

（3）具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

1 ○首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； 2 ○确定f(－x)与f(x)的关系；

3 ○作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若

不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难，可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .

7、函数的解析表达式

（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要

求出函数的定义域.

（2）.求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；

已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x) 8．函数最大（小）值

1 ○利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 2 ○利用图象求函数的最大（小）值

3 ○利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)

第二章 基本初等函数 一、指数函数

一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果xn?a，那么x叫做a的n次方根（n th root），其中n>1，且n∈N．

*

当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数．此时，，这里n叫做根指数a的n次方根用符号na表示．式子na叫做根式（radical）（radical exponent），a叫做被开方数（radicand）．

当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a的正

Page 7 of

33

n?a(a?0)an?|a|????a(a?0)

的n次方根用符号na 表示，负的n次方根用符号－na表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并成±na（a>0）．由 此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作n0?0。

注意：当n是奇数时，nan?a，当n是偶数时，

2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定： a?a(a?0,m,n?N,n?1)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

mnnm*a?mn?1amn?1nam(a?0,m,n?N*,n?1)指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性

质也同样可以推广到有理数指数幂．

3．实数指数幂的运算性质

rr?sr（1）a·a?a(a ?0,r,s?R)(ar)s?ars（2） ( ab)r?aras（3）．

(a?0,r,s?R)(a?0,r,s?R)二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：

一般地，函数y?ax(a?0,且a?1)叫做指数函数（exponential function），其中x是自变量，函数的定义

域为R．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2、指数函数的图象和性质 a>1 60

函数的定义域为R 非奇非偶函数 函数的值域为R a0?1 +自左向右看，图象逐渐下降 在第一象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1 增函数 x?0,ax?1 减函数 x?0,ax?1 x?0,ax?1 x?0,ax?1 Page 8 of