图3：模型参数估计和回归效果评价

因为该模型中T的系数不显著，我们去掉该项再进行回归分析。 图4：新模型参数估计和回归效果评价 图5：新模型的预测效果分析 图6：原序列和预测序列值 图7：原序列和预测序列值曲线图 图8：计算预测误差

图9：对预测误差序列进行单位根检验

拒绝原假设，认为序列没有单位根，为平稳序列，说明模型对长期趋势拟合的效果还不错。 同样，序列与时间之间的关系还有很多中，比如指数曲线、生命曲线、龚柏茨曲线等等，其回归模型的建立、参数估计等方法与回归分析同，这里不再详细叙述。 （二） 平滑法

除了趋势拟合外，平滑法也是消除短期随机波动反应长期趋势的方法，而其平滑法可以追踪数据的新变化。平滑法主要有移动平均方法和指数平滑法两种，这里主要介绍指数平滑方法。

例3：对北京市1950-2019年城乡居民定期储蓄所占比例序列进行平滑。

图1：打开序列，进行指数平滑分析

图2：系统自动给定平滑系数趋势

给定方法为选择使残差平方和最小的平滑系数，该例中平滑系数去0.53，超过0.5用一次平滑效果不太好

图3：平滑前后序列曲线图 图4：用二次平滑修匀原序列

可以看出，平滑系数为0.134，平均差为4.067708，修匀或者趋势预测效果不错。 图5：二次平滑效果图

例4：对于有明显线性趋势的序列，我们可以采用Holt两参数法进行指数平滑

对北京市1978-2000年报纸发行量序列进行Holt两参数指数平滑 图1：报纸发行量的曲线图

图2：Holt两参数指数平滑（指定平滑系数） 图3：预测效果检验

图4：系统自动给定平滑系数时平滑效果 图5：原序列与预测序列曲线图

（其中FXSM为自己给定系数时的平滑值，FXSM2为系统给定系数时的平滑值）

二、季节效应分析

许多序列有季节效应，比如：气温、商品零售额、某景点旅游人数等都会呈现明显的季

节变动规律。

例5：以北京市2019-2000年月平均气温序列为例，介绍季节效应分析操作。

图1：建立月度数据新工作表

图2：新工作表中添加数据

图3：五年的月度气温数据

图4：进行季节调整（移动平均法）

图5：移动平均季节加法

图6：12个月的加法调整因子

图7：打开三个序列（季节调整序列、原序列、调整后序列） 图8：三个序列（季节调整序列、原序列、调整后序列）取值

图9：三个序列（季节调整序列、原序列、调整后序列）曲线图

另外季节调整还可以用X11，X12等方法进行调整。

三、综合分析

前面两部分介绍了单独测度长期趋势和季节效应的分析方法，这里介绍既有长期趋势又有季节效应的复杂序列的分析方法。

附录1.11 对1993——2000年中国社会消费品零售总额序列进行确定性分析

图1：绘制1993——2000年中国社会消费品零售总额时序图 可以看出序列中既有长期趋势又有季节波动 图2：进行季节调整

图3：12个月的季节因子

图4：经季节调整后的序列SSA

图5：对经季节调整后序列进行趋势拟合

图6：趋势拟合序列SSAF与序列SSA的时序图 图7：扩展时间区间后预测长期趋势值SSAF 图8：经季节调整预测2019年12个月的零售总额值 图9：预测2019年12个月的零售总额值 图10：预测序列与原序列的时序图

第五章 非平稳序列的随机分析

非平稳序列的确定性分析原理简单操作方便易于解释，但是只提取确定性信息，对随机信息浪费严重；且各因素之间确切的作用关系没有明确有效的判断方法。随机分析方法的发展弥补了这些不足，为人们提供更加丰富、更加精确的时序分析工具。

对非平稳时间序列的分析，要先提取确定性信息再研究随机信息。

一、差分法提取确定性信息

确定性信息的提取方法有第四章学习的趋势拟合、指数平滑、季节指数、季节多元回归等，本章主要介绍差分法提取确定性信息。

差分实质：自回归

差分方式：对线性趋势序列进行1阶差分、对曲线趋势序列进行低阶差分、

对固定周期序列进行周期差分

附录1.2 线性趋势：对产出序列进行一阶差分

详细分析过程如下： 图1：导入数据

图2：绘制线性图，观察序列的特征 观察发现序列具有较明显的线性趋势 图3：进行一阶差分运算 图4：一阶差分运算公式 图5：一阶差分序列

图6：一阶差分曲线图

观察一阶差分序列均值方差稳定，进一步进行平稳性分析。 图7：绘制一阶差分序列的相关图

图8：自相关图均不显著，Q统计量不显著

因此，差分后序列问白噪声序列，一阶差分将序列的信息提取充分。

附录1.12 曲线序列：北京市民用车拥有量序列差分分析

图1：导入数据

图2：绘制原序列曲线图

可以看出，1950年到2019年北京市居民民用车拥有量序列具有曲线趋势，现用低阶差分法提取确定性信息。

图3：绘制一阶差分序列的曲线图 图4：一阶差分序列曲线图

可以看出一阶差分序列仍然具有趋势，继续进行差分分析；二阶差分的命令的D(QC,2)，低阶差分的命令为D(QC,K)。 图5：对原序列进行二阶差分 图6：二阶差分序列曲线图

从二阶差分序列曲线图可以看出二阶差分序列中没有中长期趋势，二阶差分提取了长期趋势。

图7：自相关分析

图8：对序列的二阶差分序列进行自相关分析

图9：二阶差分序列相关图

可以看出二阶差分序列具有短期相关性的特征，无确定性信息，为平稳序列。

附录1.13 固定周期序列：奶牛月产奶量序列差分分析 图1：导入数据（月度数据） 图2：绘制序列曲线图

可以看出本序列既有长期趋势又有周期性因素，因此我们首先进行一阶差分提取趋势特征，再进行12步周期差分提取周期信息。 图3：一阶差分序列曲线图

可以看出序列不再具有趋势特征，一阶差分提取了线性趋势 图4：对序列进行一阶差分

图5：对一阶差分序列进行12步周期差分

图6：绘制周期差分后序列

上述操作也可以用D(OP,1,12)命令来实现，即一阶——12步差分，因此直接绘制序列D(OP,1,12)的时序图结果如图6。

图7：周期差分后序列的相关图

可以看出序列自相关系数12阶显著，说明还是有一定的周期性 图8：对上面的序列再进行12步差分，绘制曲线图 图9：序列的相关图

可以看出12阶相关系数仍然显著，且相关系数比D12D1序列的相关系数还大，因此我们就进行到上一步骤即可。

差分的方式小结

对线性趋势的序列，一阶差分即可提取确定性信息，命令为D(X)；

对曲线趋势的序列，低阶差分即可提取序列的确定性信息，命令为D(X,a)； 对具有周期性特点的序列，k步差分即可提取序列的周期性信息，命令为D(X,0,k)。

对既有长期趋势又有周期性波动的序列，可以采用低阶——k步差分的操作提取确定性信息，操作方法为D(X,a，k)。

非平稳序列如果经过差分变成平稳序列，则我们称这类序列为差分平稳序列，差分平稳序列可以使用ARIMA模型进行拟合。

二、ARIMA模型

差分平稳序列在经过差分后变成平稳时间序列，之后的分析可以用ARMA模型进行，差分过程加上ARMA模型对差分平稳序列进行的分析称为ARIMA模型。

获 得 观 察 值 序 列 分 平稳性 检验 N 差分 运算 Y 白噪声 检验 N 拟合 ARMA 模型

Y 析 结 束 附录1.14 分析1952-1988年中国农业实际国民收入指数序列

先观测序列的时序图，可知序列具有线性长期趋势，需要进行1阶差分。 图1：1952-1988年中国农业实际国民收入指数时序图 再观测差分序列的时序图

图2：中国农业实际国民收入指数1阶差分后序列的时序图

图3：国农业实际国民收入指数1阶差分后序列的相关分析

由图可知，序列1阶自相关显著，序列平稳；Q统计量P值小于0.05，非