4

①时，共可以组成A4＝24个四位数；

3②时，0不能在首位，此时可以组成33A3＝3333231＝18个四位数，

同理，③、④、⑤时，都可以组成18个四位数， 则这样的四位数共24＋4318＝96个. 答案 96

18.(1)现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，问名额分配的方法共有多少种？

(2)已知集合A＝{5}，B＝{1，2}，C＝{1，3，4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，那么最多可确定多少个不同的点？

解 (1)法一 每个学校至少一个名额，则分去7个，剩余3个名额分到7所学校的方法种数就是要求的分配方法种数. 分类：若3个名额分到一所学校有7种方法； 若分配到2所学校有C2732＝42(种)； 若分配到3所学校有C37＝35(种). ∴共有7＋42＋35＝84(种)方法.

法二 10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，相当于用6块档板插在9个间隔中，共有C69＝84种不同方法. 所以名额分配的方法共有84种.

13(2)①从集合B中取元素2时，确定C3A3个点.

1②当从集合B中取元素1，且从C中取元素1，则确定的不同点有C331＝C13. 13③当从B中取元素1，且从C中取出元素3或4，则确定的不同点有C2A3个. 3113∴由分类加法计数原理，共确定C13A3＋C3＋C2A3＝33(个)不同点.

第3讲 二项式定理

最新考纲 1.能用计数原理证明二项式定理；2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.

知 识 梳 理

1.二项式定理

0nn－1n－rrn*(1)二项式定理：(a＋b)n＝Cna＋C1b＋?＋Crb＋?＋Cnnananb(n∈N)；

n－rr

(2)通项公式：Tr＋1＝Crb，它表示第r＋1项； na01n(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数Cn，Cn，?，Cn.

2.二项式系数的性质

性质 对称性 性质描述 n－k与首末等距离的两个二项式系数相等，即Ckn＝Cn 增减性 二项式系数Ckn n＋1当k＜2(n∈N*)时，是递增的 n＋1当k＞2(n∈N*)时，是递减的 n2二项式 系数最 大值 3.各二项式系数和 当n为偶数时，中间的一项Cn取得最大值 当nn?1n?1为奇数时，中间的两项Cn2与Cn2取最大值 12nn

(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C0n＋Cn＋Cn＋?＋Cn＝2.

024(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即Cn＋Cn＋Cn＋?＝35n－1C1. n＋Cn＋Cn＋?＝2

诊 断 自 测

1.判断正误(在括号内打“√”或“3”)

n－kk(1)Ckb是二项展开式的第k项.( ) na

(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.( ) (3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.( )

(4)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.( )

n－kk解析 二项式展开式中Ckb是第k＋1项，二项式系数最大的项为中间一项或na

中间两项，故(1)(2)均不正确. 答案 (1)3 (2)3 (3)√ (4)√

2.(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是( ) A.Cmn

m－1C.Cn

m＋1

B.Cn

－1D.(－1)m－1Cmn

m－1

解析 (x－y)n展开式中第m项的系数为Cn(－1)m－1.

答案 D

3.(选修2－3P35练习T1(3)改编)

122 017

C02 017＋C2 017＋C2 017＋?＋C2 017

242 016的值为( ) C02 016＋C2 016＋C2 016＋?＋C2 016

A.2 B.4

C.2 017 D.2 01632 017 22 017

解析 原式＝2 016－1＝22＝4.

2答案 B

?21?9

4.(2017·瑞安市质检)?x－2x?的展开式中，第4项的二项式系数是________，第4

??项的系数是________. 解析 展开式通项为

1?2(9－r)??－2x?Tr＋1＝Cr9x

?

?r

118－3r

＝(－1)r2rCr(其中r＝0，1，?，9) 9x19∴T4＝(－1)323C39x，

故第4项的二项式系数为C39＝84，第4项的系数为 121(－1)323C3＝－9

2. 21

答案 84 －2

5.(2017·石家庄调研)(1＋x)n的二项式展开式中，仅第6项的系数最大，则n＝________.

n

解析 (1＋x)n的二项式展开式中，项的系数就是项的二项式系数，所以2＋1＝6，n＝10. 答案 10

?22?5

6.?x－x3?展开式中的常数项为________. ??解析

2?25－k??－x3?Tk＋1＝Ck5(x)

?

?

k

k10－5k

＝Ck.令10－5k＝0，则k＝2.∴常数项为5(－2)x

2

T3＝C25(－2)＝40.

答案 40

考点一 求展开式中的特定项或特定项的系数

?31?n??的展开式中，第6项为常数项. 【例1】 已知在?x－

3?2x??(1)求n；

(2)求含x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项. 解 (1)通项公式为

n－k

3Tk＋1＝Cknx

1?kn－2k?1?k－kk??－2?x3＝Cn?－2?x3. ????

n－235

＝0，即n＝10. 3

因为第6项为常数项，所以k＝5时，10－2k

(2)令3＝2，得k＝2， 故含x的项的系数是

2

1?2?C10?－2??

?

2

45＝4.

10－2k??3∈Z，

(3)根据通项公式，由题意?

0≤k≤10，??k∈N，令

10－2k3

＝r (r∈Z)，则10－2k＝3r，k＝5－32r，

∵k∈N，∴r应为偶数.

∴r可取2，0，－2，即k可取2，5，8， ∴第3项，第6项与第9项为有理项， 456345

它们分别为4x2，－8，256x－2.

规律方法 (1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求的项.